за допомогою мнк отримати рівняння сполучених регресійних прямих

сполучених допомогою рівняння прямих отримати регресійних мнк за.

Лінійна регресія і кореляція, сенс і оцінка параметрів. Парні регресивні прямі. т. е у розглядалася як залежна змінна, а х — як пояснює. На практиці часто зустрічаються економічні явища, між якими існує взаємодія, Е. Змінна у залежить від змінної х і, навпаки, змінна х залежить від у. У таких випадках говорять про логічно оборотних регрес. При переході від однієї постановки задачі до іншої можна просто з рівняння (1.1) висловити х через. Це пов’язано з тим, що емпіричні точки лежать не на прямий, а схильні. Фіксованому значенню х може відповідати кілька значень у, а цього значення у — кілька значень змінної х.

Чим більше розкид точок на діаграмі розсіювання, тим більше будуть відрізнятися один від одного регресивні прямі, відповідні різному напрямку залежності. Рівняння регресії не виводяться одна з одної. Так як об’єктом вивчення є стохастичні зв’язки між змінними, при дослідженні залежностей між двома змінними теоретично завжди існують дві різні регресійні прямі, які називаються сполученими. У порівнянні з регресією у на х змінні в (1.2) поміняли свої місця. Залежною змінною, або змінною, яка підлягає поясненню, в даному випадку є, А незалежною, або пояснює, змінної — у.

коефіцієнти и — Параметри регресії . параметр знову є аддитивную постійну, відповідну точці перетину прямої регресії (1.2) з віссю абсцис. параметр називається коефіцієнтом регресії х на у. Цей параметр показує, на скільки одиниць в середньому зміниться значення змінної я, якщо значення змінної у зміниться на одну одиницю. Розрахункові значення регресії інтерпретуються так само, як в разі регресії у на х. Через розкиду емпіричних точок навколо прямої регресії знову можна розглядати відхилення спостережуваних значень змінної х від розрахункових значень регресії, Які ми позначимо через i : значення i є реалізаціями випадкової обурює змінної v. Ці значення — результат впливів на х неврахованих в функції регресії (1,2) змінних-чинників, включаючи випадкові флуктуації. Обурює змінна v в статистичному сенсі інтерпретується як помилка специфікації регресії (1,2) Зміну х можна тоді висловити як.

Зі сказаного вище випливає, що інтерпретація регресійної прямої, параметрів регресії, розрахункових значень функції регресії х на у аналогічна смисловому тлумачення тих же понять при розгляді регресії у на х. Слід прийняти до уваги тільки зворотний напрямок залежності, а також те, що відхилення I досвідчених точок від лінії регресії вимірюють по горизонтальній осі (рис. 1.1). Пряма регресії х па у будується з умови мінімізації суми квадратів відхилень, виміряних по горизонталі: Після знаходження приватних похідних з невідомих параметрах і прирівнюючи їх нулю отримуємо так само, систему нормальних рівнянь, рішення яких дає нам шукані параметри: Розгляд вивченні залежності між обсягом виробництва і показником використання основних фондів на 52 промислових підприємствах однієї галузі господарства. Вихідні дані наведені в табл. 1. Спочатку побудуємо рівняння регресії, що відбиває залежність обсягу виробництва (у) від основних фондів (х). Для цього визначимо величини b 0 и : Пряма регресії перетинає вісь ординат у точці b 0 = 183,06, тангенс кута її нахилу до осі абсцис складає b 1 = 2,095 (див. Рис. 1). Коефіцієнт регресії показує, що обсяг виробництва в середньому збільшується на 2095 марок, якщо вартість основних фондів підвищується на 100 000 марок. Отже, коефіцієнт регресії відображає вплив зміни основних фондів на рівень обсягу виробництва. Для плануючих органів іноді становить інтерес питання, якої величини повинні досягти основні фонди підприємства при певному обсязі виробництва? Відповідь на це питання можна отримати, визначивши регресію х на у у вигляді функції (1.2). За формулами (1.7) і (1.8) визначаємо значення и : коефіцієнт показує, що вартість основних фондів в середньому зросте на 43 500 марок, якщо показник обсягу виробництва збільшиться на 1000 марок. Ми обмежимося побудовою рівнянь регресій.

На рис. 1 представлені обидві прямі регресії. Вони утворюють «ножиці». З графіка видно, що при стохастичною залежності співвідношення b 1 = 1: не має місця. Лише в разі чисто функціонального зв’язку обидві прямі регресії зливаються в одну і тоді виконується вказане співвідношення між b За величиною розчину ножиць можна судити приблизно про ступінь залежності обох змінних. Чим більше розкриті ножиці, тим слабкіше зв’язок. Якщо обидві прямі регресії перетинаються під прямим кутом, то емпіричні дані не дозволяють підтвердити гіпотезу про існування залежності між змінними. У цьому випадку окремі точки випадково розкидані по всій діаграмі розсіювання, і відсутня будь-яка тенденція до орієнтації точок в певному напрямку (рис. 1.2). Якщо відсутня регресія у на х, то не існує також регресії x на у і навпаки. при b 1 = 0 обов’язково = 0 і назад. Якщо пряма регресії у на x проходить паралельно осі абсцис, то це неминуче тягне за собою витягування прямий регресії х на у вздовж осі ординаЦя взаємна обумовленість стає очевидною при розгляді наступних формул: Необхідною передумовою застосування регресійного аналізу є виконання умов: > 0 і > 0. Отже, обидва кутових коефіцієнта регресії дорівнюють нулю, якщо ковариация S ху = S ух, Яка в обох формулах міститься в чисельнику, дорівнює нулю. Як видно з рис. 1.1 і 1.2, обе_сопряженние прямі регресії перетинаються в точці з координатами (,). Так буває завжди, і це можна показати за допомогою формул: При х = маємо =, А при у = отримуємо також =. Так як = и = — Значення регресії, що належать обом прямим, обидві прямі повинні перетинатися в точці (,). Не завжди потрібно знаходити обидві пов’язані прямі регресії. Найчастіше становить практичний інтерес залежність тільки в одному напрямку. А іноді постановка завдання виявляється змістовної тільки при розгляді односторонньої залежності. З цієї причини ми не продовжили приклад з розділу 2.4, так як, на наш погляд, в цьому прикладі регресія х щодо у економічно безглузда. Ми хотіли б підкреслити ще одну істотну особливість, що витікає з наявності двох різних регресійних прямих, що описують зв’язок між досліджуваними змінними при різному тлумаченні їх ролі. Якщо існує взаємодія між змінними у та л ;, то змінна х також залежить від обурює змінної і. Але тим самим порушується важлива передумова застосування методу найменших квадратів.

Якщо ж, не дивлячись на це, ми застосуємо метод найменших квадратів для оцінки по досвідченим даним невідомих параметрів рівнянь регресії у на x і х на у, то допустимо помилку. Приклад регресії. Регресійний аналіз — статистичний метод дослідження залежності випадкової величини від змінних. Сучасна політична наука виходить з положення про взаємозв’язок всіх явищ і процесів в суспільстві. Неможливо розуміння подій і процесів, прогнозування і управління явищами політичного життя без вивчення зв’язків і залежностей, існуючих в політичній сфері життєдіяльності суспільства. Одна з найбільш поширених завдань політичного дослідження полягає у вивченні зв’язку між деякими спостерігаються змінними. Допомагає вирішити цю задачу цілий клас статистичних прийомів аналізу, об’єднаних загальною назвою «регресійний аналіз» (або, як його ще називають, «кореляційно-регресійний аналіз»). Однак якщо кореляційний аналіз дозволяє оцінити силу зв’язку між двома змінними, то за допомогою регресійного аналізу можна визначити вид зв’язку з цим, прогнозувати залежність значення будь-якої змінної від значення іншої змінної. Для початку згадаємо, що таке кореляція. кореляційним називають найважливіший окремий випадок статистичної зв’язку, який полягає в тому, що рівним значенням однієї змінної відповідають різні середні значення інший. Зі зміною значення ознаки х закономірним чином змінюється середнє значення ознаки у, в той час як в кожному окремому випадку значення ознаки у (З різними можливостями) може приймати безліч різних значень. Поява в статистиці терміна «кореляція» (а політологія привертає для вирішення своїх завдань досягнення статистики, яка, таким чином, є суміжною політології дисципліною) пов’язано з ім’ям англійського біолога і статистика Френсіса Галь- тони, який запропонував в XIX. теоретичні основи корреляционно- регресійного аналізу. Термін «кореляція» в науці був відомий і раніше. Зокрема, в палеонтології ще в XVIII. його застосував французький вчений Жорж Кюв’є. Він ввів так званий закон кореляції, за допомогою якого за знайденими в ході розкопок останків тварин можна було відновити їх вигляд. Відома історія, пов’язана з ім’ям цього вченого і його законом кореляції. Так, в дні університетського свята студенти, які вирішили пожартувати над відомим професором, натягнули на одного студента цапову шкуру з рогами і копитами.

Той заліз у вікно спальні Кюв’є і закричав: «Я тебе з’їм». Професор прокинувся, подивився на силует і відповів: «Якщо у тебе є роги і копита, то ти — травоїдна тварина і з’їсти мене не можеш. А за незнання закону кореляції отримаєш двійку ». Перевернувся на другий бік і заснув. Жарт жартом, але на цьому прикладі ми спостерігаємо окремий випадок використання множинних кореляційно-регресійного аналізу. Тут професор, виходячи з знання значень двох спостережуваних ознак (наявність рогів і копит), на підставі закону кореляції вивів середнє значення третьої ознаки (клас, до якого належить ця тварина — травоїдна). В даному випадку мова не йде про конкретне значення цієї змінної (тобто дане тварина могла набувати різних значень за номінальною шкалою — це міг бути і козел, і баран, і бик.). Тепер перейдемо до терміну «регресія». Власне кажучи, він не пов’язаний зі змістом тих статистичних завдань, які вирішуються за допомогою цього методу. Пояснення терміну можна дати тільки виходячи зі знання історії розвитку методів вивчення зв’язків між ознаками.

Одним з перших прикладів досліджень такого роду була робота статистиків Ф. Гальтона і. Пірсона, які намагалися виявити закономірність між зростанням батьків і їх дітей за двома спостережуваним ознаками (де X- зростання батьків і У- зростання дітей).

В ході свого дослідження вони підтвердили початкову гіпотезу про те, що в середньому у високих батьків виростають в середньому високі діти. Цей же принцип діє відносно низьких батьків і дітей. Однак якби вчені на цьому зупинилися, то їх праці ніколи не згадувалися б в підручниках по статистиці. Дослідники виявили ще одну закономірність в рамках вже згадуваної підтвердженої гіпотези. Вони довели, що у дуже високих батьків народжуються в середньому високі діти, але не сильно відрізняються зростанням від дітей, чиї батьки хоч і вище середнього, але не сильно відрізняються від середньовисокі зростання. Те ж і у батьків з дуже маленьким ростом (що відхиляється від середніх показників низькорослої групи) — їхні діти в середньому не відрізнялися за зростанням від однолітків, чиї батьки були просто невисокими.

Функцію, що описує цю закономірність, вони і назвали функцією регресії. Після цього дослідження все рівняння, що описують подібні функції і побудовані подібним чином, стали іменувати рівняннями регресії. Регресійний аналіз — один з методів багатовимірного статистичного аналізу даних, який об’єднує сукупність статистичних прийомів, призначених для вивчення або моделювання зв’язків між однією залежною і декількома (або однієї) незалежними змінними. Залежна змінна за прийнятою у статистиці традиції називається відгуком і позначається як V Незалежні змінні називаються предикторами і позначаються як X. В ході аналізу деякі змінні виявляться слабо пов’язаними з відгуком і будуть в кінцевому рахунку виключені з аналізу. Решта змінні, пов’язані з залежною, можуть іменуватися ще факторами. Регресійний аналіз дає можливість передбачити значення однієї або декількох змінних в залежності від іншої змінної (наприклад, схильність до неконвенціональні політичної поведінки в залежності від рівня освіти) або декількох змінних. Розраховується він на PC. Для складання регресійного рівняння, що дозволяє виміряти ступінь залежності контрольованого ознаки від факторних, необхідно залучити професійних математиків-програмістів. Регресійний аналіз може надати неоціненну послугу при побудові прогностичних моделей розвитку політичної ситуації, оцінці причин соціальної напруженості, при проведенні теоретичних експериментів. Регресійний аналіз активно використовується для вивчення впливу на електоральну поведінку громадян ряду соціально-демографічних параметрів: статі, віку, професії, місця проживання, національності, рівня і характеру доходів. Стосовно до регрессионному аналізу використовують поняття незалежної і залежною змінних. Независимой називають змінну, яка пояснює або служить причиною зміни іншої змінної. Залежною називають змінну, значення якої пояснюють впливом першої змінної. Наприклад, на президентських виборах в 2004 р визначальними факторами, тобто незалежними змінними, виступили такі показники, як стабілізація матеріального становища населення країни, рівень популярності кандидатів і фактор incumbency. В якості залежної змінної в даному випадку можна вважати відсоток голосів, поданих за кандидатів. Аналогічно в парі змінних «вік виборця» і «рівень електоральної активності» незалежної є перша, залежною — друга. 1) встановити сам факт наявності або відсутності статистично значущою зв’язку між Кі X; 2) побудувати найкращі (в статистичному сенсі) оцінки функції регресії; 3) за заданим значенням X побудувати прогноз для невідомого У 4) оцінити питому вагу впливу кожного фактора X на У і відповідно виключити з моделі несуттєві ознаки; 5) за допомогою виявлення причинних зв’язків між змінними частково управляти значеннями Рпутем регулювання величин пояснюють змінних X. Регресійний аналіз пов’язаний з необхідністю вибору взаємно незалежних змінних, що впливають на значення досліджуваного показника, визначення форми рівняння регресії, оцінки параметрів за допомогою статистичних методів обробки первинних соціологічних даних. В основі цього виду аналізу лежить уявлення про форму, напрямку і тісноті (щільності) взаємозв’язку. розрізняють парну і множинну регресію в залежності від кількості досліджуваних ознак. На практиці регресійний аналіз зазвичай виконується спільно з кореляційним. рівняння регресії описує числове співвідношення між величинами, виражене у вигляді тенденції до зростання або зменшенням однієї змінної величини при зростанні або убування інший. При цьому ра зл і ч а ють л інейную і нелінійну регресії. При описі політичних процесів в рівній мірі виявляються обидва варіанти регресії. Діаграма розсіювання для розподілу взаємозалежності інтересу до статей на політичні теми (У) і освіти респондентів (X) являє собою лінійну регресію (рис.

30). Діаграма розсіювання для розподілу рівня електоральної активності (У) і віку респондента (А) (умовний приклад) являє собою нелінійну регресію (рис. 3Для оцінки коефіцієнтів а і b використовують метод найменших квадратів, що передбачає, що сума квадратів відхилень кожної точки на діаграмі розкиду від лінії регресії повинна бути мінімальною. коефіцієнти а ч Ь можуть бути обчислені за допомогою системи рівнянь: Метод оцінки найменших квадратів дає такі оцінки коефіцієнтів а і Ь, при яких пряма проходить через точку з координатами х і у, тобто має місце співвідношення у = ах + Ь. Графічне зображення рівняння регресії називається теоретичної лінією регресії. При лінійної залежності коефіцієнт регресії представляє на графіку тангенс кута нахилу теоретичної лінії регресії до осі абсцис.

Знак при коефіцієнті показує напрямок зв’язку. Якщо він більше нуля, то зв’язок пряма, якщо менше — зворотна. У наведеному нижче прикладі з дослідження «Політична Петербург-2006» (табл. 56) показана лінійна взаємозв’язок уявлень громадян про ступінь задоволеності своїм життям в сьогоденні і очікуваннями змін якості життя в майбутньому. Зв’язок пряма, лінійна (стандартизований коефіцієнт регресії дорівнює 0,233, рівень значимості — 0,000). В даному випадку коефіцієнт регресії невисокий, проте він перевищує нижню межу статистично значущої показника (нижню межу квадрата статистично значущої показника коефіцієнта Пірсона). У політичному житті значення досліджуваної змінної найчастіше одночасно залежить від декількох ознак. Наприклад, на рівень і характер політичної активності одночасно впливають політичний режим держави, політичні традиції, особливості політичної поведінки людей даного району і соціальна мікрогрупа респондента, його вік, освіту, рівень доходу, політична орієнтація і т.д. В цьому випадку необхідно скористатися рівнянням множинної регресії, Яке має наступний вигляд: де коефіцієнт Ь. — приватний коефіцієнт регресії. Він показує внесок кожної незалежної змінної в визначення значень незалежної (результуючої) змінної. Якщо приватний коефіцієнт регресії близький до 0, то можна зробити висновок, що безпосереднього зв’язку між незалежними та залежною змінними немає. Розрахунок подібної моделі можна виконати на PC, вдавшись до помоши матричної алгебри. Множинна регресія дозволяє відобразити многофакторность соціальних зв’язків і уточнити міру впливу кожного фактора окремо і всіх разом на результуючий ознака. Коефіцієнт, що позначається Ь, називається коефіцієнтом лінійної регресії і показує силу зв’язку між варіацією факторної ознаки X і варіацією результативної ознаки Y Даний коефіцієнт вимірює силу зв’язку в абсолютних одиницях виміру ознак. Однак тіснота кореляційного зв’язку ознак може бути виражена і в частках середнього квадратичного відхилення результативної ознаки (такий коефіцієнт називається коефіцієнтом кореляції). На відміну від коефіцієнта регресії b коефіцієнт кореляції не залежить від прийнятих одиниць виміру ознак, а отже, його можна порівняти для будь-яких ознак. Зазвичай вважають зв’язок сильної, якщо /\u003e 0,7, середньої тісноти — при 0,5 г 0,5. Як відомо, максимально тісний зв’язок — це зв’язок функціональна, коли кожне індивідуальне значення Y може бути однозначно поставлено у відповідність значення X. Таким чином, чим ближче коефіцієнт кореляції до 1, тим ближче зв’язок до функціональної. Рівень значущості для регресійного аналізу не повинен перевищувати 0,00Коефіцієнт кореляції довгий час розглядався як основний показник тісноти зв’язку ознак. Однак пізніше таким показником став коефіцієнт детермінації. Сенс цього коефіцієнта в наступному — він відображає частку загальної дисперсії результуючого ознаки У, Що пояснюється дисперсією ознаки X. Знаходиться він простим зведенням в квадрат коефіцієнта кореляції (змінюється від 0 до 1) і в свою чергу для лінійного зв’язку відображає частку від 0 (0%) до 1 (100%) значень ознаки Y, яка визначається значеннями ознаки X. Записується він як I 2, а в результуючих таблицях регресійного аналізу в пакеті SPSS — без квадрата. Вибір факторів, що включаються в рівняння регресії. На цій стадії дослідник спочатку становить загальний список основних причин, які відповідно до теорії обумовлюють досліджуване явище. Потім він повинен відібрати ознаки в рівняння регресії. Основне правило відбору: фактори, що включаються в аналіз, повинні якомога менше корелювати один з одним; тільки в цьому випадку можна приписати кількісну міру впливу певного фактору-ознакою. 2. Вибір форми рівняння множинної регресії (На практиці частіше користуються лінійної або лінійно-логарифмічною). Отже, для використання множинної регресії дослідник спочатку повинен побудувати гіпотетичну модель впливу декількох незалежних змінних на результуючу. Щоб отримані результати були достовірні, необхідно, щоб модель точно відповідала реальному процесу, тобто зв’язок між змінними повинна бути лінійною, не можна проігнорувати жодну значущу незалежну змінну, точно так же не можна включати в аналіз жодну змінну, що не має прямого відношення до досліджуваного процесу. Крім того, всі вимірювання змінних повинні бути гранично точними. З наведеного опису випливає ряд умов застосування цього методу, без дотримання яких не можна приступити до самої процедури множинного регресійного аналізу (МРА).

Тільки дотримання всіх з перелічених пунктів дозволяє коректно здійснювати регресійний аналіз. регресійний аналіз метод моделювання вимірюваних даних і дослідження їх властивостей. Дані складаються з пар значень залежною змінною (Змінної відгуку) і незалежної змінної (Що пояснює змінної). Регресійна модель є функція незалежної змінної і параметрів з доданою випадкової змінної. Параметри моделі налаштовуються таким чином, що модель найкращим чином наближає дані. Критерієм якості наближення (цільовою функцією) зазвичай є середньоквадратична помилка: сума квадратів різниці значень моделі і залежною змінною для всіх значень незалежної змінної як аргуменРегресійний аналіз розділ математичної статистики і машинного навчання. Передбачається, що залежна змінна є сума значень деякої моделі і випадкової величини. Щодо характеру розподілу цієї величини робляться припущення, звані гіпотезою породження даних. Для підтвердження або спростування цієї гіпотези виконуються статистичні тести, звані аналізом залишків. При цьому передбачається, що незалежна змінна не містить помилок. Регресійний аналіз використовується для прогнозу, аналізу часових рядів, тестування гіпотез і виявлення прихованих взаємозв’язків в даних. Визначення регресійного аналізу. Вибірка може бути не функцією, а ставленням. Наприклад, дані для побудови регресії можуть бути такими. У такій вибірці одному значенню змінної відповідає кілька значень змінної. лінійна регресія.

Лінійна регресія передбачає, що функція залежить від параметрів лінійно. При цьому лінійна залежність від вільної змінної необов’язкова, Значення параметрів в разі лінійної регресії знаходять за допомогою методу найменших квадратів. Використання цього методу обгрунтовано припущенням про гауссовский розподілі випадкової змінної. Різниці між фактичними значеннями залежної змінної і відновленими називаються регресійний залишками (Residuals). У літературі використовуються також синоніми: невязки і помилки. Однією з важливих оцінок критерію якості отриманої залежності є сума квадратів залишків: На графіках представлені вибірки, позначені синіми крапками, і регресивні залежності, позначені суцільними лініями. По осі абсцис відкладена вільна змінна, а по осі ординат залежна.

Всі три залежності лінійні щодо параметрів. неде — параметри регресійної моделі, — вільна змінна з простору, — залежна змінна, — випадкова величина і — функція з деякого заданого безлічі. Значення параметрів в разі нелінійної регресії знаходять за допомогою одного з методів градієнтного спуску, наприклад алгоритму Левенберга-Марквардта. Про термінах. Термін «регресія» був введений Френсісом Гальтон в кінці 19-го століття. Гальтон виявив, що діти батьків з високим або низьким ростом зазвичай не успадковують видатний зростання і назвав цей феномен «регресія до посередності». Спочатку цей термін використовувався виключно в біологічному сенсі. Після робіт Карла Пірсона цей термін стали використовувати і в статистиці. У статистичній літературі розрізняють регресію за участю однієї вільної змінної і з декількома вільними змінними одновимірну і багатовимірну регресію.

Передбачається, що ми використовуємо кілька вільних змінних, тобто, вільна змінна вектор. В окремих випадках, коли вільна змінна є скаляром, вона буде позначатися. розрізняють лінійну і нелінійну регресію. Якщо регресійну модель не є лінійною комбінацією функцій від параметрів, то говорять про нелінійної регресії. При цьому модель може бути довільною суперпозицией функцій з деякого набору. Нелінійними моделями є, експоненціальні, тригонометричні та інші (наприклад, радіальні базисні функції або персептрон Розенблатта), які вважають залежність між параметрами і залежною змінною нелінійної. розрізняють параметричну і непараметричних регресію. Сувору межу між цими двома типами регрессий провести складно. Зараз не існує загальноприйнятого критерію відмінності одного типу моделей від іншого. Наприклад, вважається, що лінійні моделі є параметричними, а моделі, що включають усереднення залежною змінною по простору вільної змінної непараметричних. Приклад параметричної регресіонний моделі: лінійний предиктор, багатошаровий персептрон. Приклади змішаної регресійній моделі: функції радіального базису. Непараметрична модель ковзне усереднення у вікні деякої ширини. В цілому, непараметрическая регресія відрізняється від параметричної тим, що залежна змінна залежить не від одного значення вільної змінної, а від деякої заданої околиці цього значення. Наближення функцій. Дана функція дискретного або безперервного аргументу. Потрібно знайти функцію з деякого параметричну сімейства, наприклад, серед алгебраїчних поліномів заданого ступеня. Параметри функції повинні доставляти мінімум деякого функціоналу, наприклад, термін апроксимація синонім терміну «наближення функцій».

Найчастіше використовується тоді, коли мова йде про заданої функції, як про функції дискретного аргументу. Тут також потрібно відшукати таку функцію, яка проходить найближче до всіх точок заданої функції. При цьому вводиться поняття невязки відстані між точками неперервної функції і відповідними точками функції дискретного аргументу. інтерполяція функцій окремий випадок завдання наближення, коли потрібно, щоб в певних точках, званих вузлами інтерполяції збігалися значення функції і наближає її функції. У більш загальному випадку накладаються обмеження на значення деяких похідних похідних. Тобто, дана функція дискретного аргументу. Потрібно знайти таку функцію, яка проходить через всі крапки. При цьому метрика зазвичай не використовується, проте часто вводиться поняття «гладкості» шуканої функції. поняття регресії. Залежність між змінними величинами x і y може бути описана різними способами. Зокрема, будь-яку форму зв’язку можна виразити рівнянням загального вигляду, де y розглядається в якості залежної змінної, або функції від іншого — незалежної змінної величини x, званої аргументом. Відповідність між аргументом і функцією може бути задано таблицею, формулою, графіком і т.д. Зміна функції в залежності від зміни одного або декількох аргументів називається регресією. Всі засоби, що застосовуються для опису кореляційних зв’язків, становить зміст регресійного аналізу. Для вираження регресії служать кореляційні рівняння, або рівняння регресії, емпіричні і теоретично обчислені ряди регресії, їх графіки, називаються лініями регресії, а також коефіцієнти лінійної та нелінійної регресії.

Показники регресії висловлюють кореляційний зв’язок двосторонньо, з огляду на зміну усереднених значень ознаки Y при зміні значень x i ознаки X, І, навпаки, показують зміна середніх значень ознаки X за зміненими значеннями y i ознаки Y. Виняток становлять тимчасові ряди, або ряди динаміки, що показують зміну ознак в часі. Регресія таких рядів є односторонньою. Різних форм і видів кореляційних зв’язків багато. Завдання зводиться до того, щоб в кожному конкретному випадку виявити форму зв’язку і висловити її відповідним кореляційним рівнянням, що дозволяє передбачати можливі зміни однієї ознаки Y на підставі відомих змін іншого X, Пов’язаного з першим кореляційно. 12.1 Лінійна регресія. Рівняння регресії. Результати спостережень, проведених над тим чи іншим біологічним об’єктом по кореляційно пов’язаних ознаками x і y, Можна зобразити точками на площині, побудувавши систему прямокутних координаВ результаті виходить якась діаграма розсіювання, що дозволяє судити про форму і тісноті зв’язку між варьирующими ознаками. Досить часто цей зв’язок виглядає у вигляді прямої або може бути апроксимована прямою лінією.

Лінійна залежність між змінними x і y описується рівнянням загального вигляду, де a, b, c, d — параметри рівняння, що визначають співвідношення між аргументами x 1, x 2, x 3 x m і функцій. У рівнянні лінійної регресії (1) a — вільний член, а параметр b визначає нахил лінії регресії по відношенню до осей прямокутних координаВ аналітичній геометрії цей параметр називають кутовим коефіцієнтом, А в біометрії — коефіцієнтом регресії. Наочне уявлення про цей параметр і про становище ліній регресії Y по X і X по Y в системі прямокутних координат дає рис.Лінії регресії, як показано на рис.1, перетинаються в точці О (,), відповідної середнім арифметичним значенням кореляційно пов’язаних один з одним ознак Y і X. При побудові графіків регресії по осі абсцис відкладають значення незалежної змінної X, а по осі ординат — значення залежної змінної, або функції Y. Лінія АВ, що проходить через точку О (,) відповідає повною (функціональної) залежності між змінними величинами Y і X, Коли коефіцієнт кореляції. Чим сильніше зв’язок між Y і X, Тим ближче лінії регресії до АВ, і, навпаки, чим слабкіше зв’язок між цими величинами, тим більше віддаленими виявляються лінії регресії від АВ. При відсутності зв’язку між ознаками лінії регресії виявляються під прямим кутом по відношенню один до одного і. За першою формулою визначають усереднені значення при зміні ознаки X на одиницю заходи, по другий — усереднені значення при зміні на одиницю міри ознаки Y. Коефіцієнт регресії. Коефіцієнт регресії показує, наскільки в середньому величина однієї ознаки y змінюється при зміні на одиницю заходи іншого, кореляційно пов’язаного з Y ознаки X. Цей показник визначають за формулою. тут значення s множать на розміри класових інтервалів λ, Якщо їх знаходили по варіаційним рядах або кореляційним таблицями. Коефіцієнт регресії можна обчислити минаючи розрахунок середніх квадратичних відхилень s y і s x за формулою. Зв’язок між коефіцієнтами регресії і кореляції. Порівнюючи формули (11.1) (тема 11) і (12.5), бачимо: в їх чисельнику одна і та ж величина, що вказує на наявність зв’язку між цими показниками. Цей зв’язок виражається рівністю. Таким чином, коефіцієнт кореляції дорівнює середньої геометричної з коефіцієнтів b yx і b xy. Формула (6) дозволяє, по-перше, за відомими значеннями коефіцієнтів регресії b yx і b xy визначати коефіцієнт регресії R xy, А по-друге, перевіряти правильність розрахунку цього показника кореляційної зв’язку R xy між варьирующими ознаками X і Y. Як і коефіцієнт кореляції, коефіцієнт регресії характеризує тільки лінійну зв’язок і супроводжується знаком плюс при позитивній і знаком мінус при негативній зв’язку. Визначення параметрів лінійної регресії. Відомо, що сума квадратів відхилень варіант x i від середньої є величина найменша, тобто. Ця теорема становить основу методу найменших квадратів. Відносно лінійної регресії [см. формулу (1)] вимогу цієї теореми задовольняє деяка система рівнянь, які називаються нормальними : З огляду на двосторонній характер зв’язку між змінними Y і X, Формулу для визначення параметра а слід висловити так: Побудова емпіричних рядів регресії. При наявності великої кількості спостережень регресійний аналіз починається з побудови емпіричних рядів регресії. Емпіричний ряд регресії утворюється шляхом обчислення за значеннями одного варьирующего ознаки X середніх значень іншого, пов’язаного кореляційно з X ознаки Y. Іншими словами, побудова емпіричних рядів регресії зводиться до знаходження групових середніх ііз відповідних значень прізнаковY і X. Емпіричний ряд регресії — це подвійний ряд чисел, які можна зобразити точками на площині, а потім, з’єднавши ці точки відрізками прямої, отримати емпіричну лінію регресії. Емпіричні ряди регресії, особливо їх графіки, звані лініями регресії, Дають наочне уявлення про форму і тісноті кореляційної залежності між варьирующими ознаками. Вирівнювання емпіричних рядів регресії. Графіки емпіричних рядів регресії виявляються, як правило, не плавно йдуть, а ламаними лініями. Це пояснюється тим, що поряд з головними причинами, визначальними загальну закономірність в мінливості корелюється ознак, на їх величині позначається вплив численних другорядних причин, що викликають випадкові коливання вузлових точок регресії. Щоб виявити основну тенденцію (тренд) сполученої варіації корелюється ознак, потрібно замінити ламані лінії на гладкі, плавно йдуть лінії регресії. Процес заміни ламаних ліній на плавно йдуть називають вирівнюванням емпіричних рядів і ліній регресій. Графічний спосіб вирівнювання. Це найбільш простий спосіб, що не вимагає обчислювальної роботи. Його суть зводиться до наступного.

Емпіричний ряд регресії зображують у вигляді графіка в системі прямокутних координаПотім візуально намічаються середні точки регресії, за якими за допомогою лінійки або лекала проводять суцільну лінію. Недолік цього способу очевидна: він не виключає вплив індивідуальних властивостей дослідника на результати вирівнювання емпіричних ліній регресії. Тому в тих випадках, коли необхідна більш висока точність при заміні ламаних ліній регресії на плавно йдуть, використовують інші способи вирівнювання емпіричних рядів. Спосіб ковзної середньої. Суть цього способу зводиться до послідовного обчислення середніх арифметичних з двох або трьох сусідніх членів емпіричного ряду. Цей спосіб особливо зручний в тих випадках, коли емпіричний ряд представлений великою кількістю членів, так що втрата двох з них — крайніх, що неминуче при цьому способі вирівнювання, помітно не позначиться на його структурі. Метод найменших квадратів. Цей спосіб запропонований на початку XIX століття.М. Лежандром і незалежно від нього. Гауссом. Він дозволяє найбільш точно вирівнювати емпіричні ряди. Цей метод, як було показано вище, заснований на припущенні, що сума квадратів відхилень варіант x i від їх середньої є величина мінімальна, тобто. Звідси і назва методу, який застосовується не тільки в екології, а й в техніці. Метод найменших квадратів об’єктивний і універсальний, його застосовують в самих різних випадках при знаходженні емпіричних рівнянь рядів регресії і визначення їх параметрів. Вимога методу найменших квадратів полягає в тому, що теоретичні точки лінії регресії повинні бути отримані таким чином, щоб сума квадратів відхилень від цих точок для емпіричних спостережень y i була мінімальною, тобто. Обчислюючи відповідно до принципів математичного аналізу мінімум цього виразу і певним чином перетворюючи його, можна отримати систему так званих нормальних рівнянь, В яких невідомими величинами виявляються шукані параметри рівняння регресії, а відомі коефіцієнти визначаються емпіричними величинами ознак, зазвичай сумами їх значень і їх перехресних творів. Множинна Залежність між декількома змінними величинами прийнято виражати рівнянням множинної регресії, яка може бути лінійної і нелінійної.

У найпростішому вигляді множинна регресія виражається рівнянням з двома незалежними змінними величинами (x, z): де a — вільний член рівняння; b і c — параметри рівняння. Для знаходження параметрів рівняння (10) (за способом найменших квадратів) застосовують наступну систему нормальних рівнянь: Ряди динаміки. Вирівнювання рядів. Зміна ознак у часі утворює так звані часові ряди або ряди динаміки. Характерною особливістю таких рядів є те, що в якості незалежної змінної X тут завжди виступає фактор часу, а залежною Y — змінюється ознака. Залежно від рядів регресії залежність між змінними X і Y носить односторонній характер, так як фактор часу не залежить від мінливості ознак. Незважаючи на зазначені особливості, ряди динаміки можна уподібнити рядах регресії і обробляти їх одними і тими ж методами. Як і ряди регресії, емпіричні ряди динаміки несуть на собі вплив не тільки основних, але і численних другорядних (випадкових) чинників, затушовують ту головну тенденцію в мінливості ознак, яка на мові статистики називають трендом. Аналіз рядів динаміки починається з виявлення форми тренда. Для цього тимчасової ряд зображують у вигляді лінійного графіка в системі прямокутних координаПри цьому по осі абсцис відкладають тимчасові точки (роки, місяці і інші одиниці часу), а по осі ординат — значення залежної змінної Y. При наявності лінійної залежності між змінними X і Y (лінійного тренда) для вирівнювання рядів динаміки способом найменших квадратів найбільш підходящим є рівняння регресії у вигляді відхилень членів ряду залежною змінною Y від середньої арифметичної ряду незалежної переменнойX: Числові характеристики рядів динаміки. До числа основних узагальнюючих числових характеристик рядів динаміки відносять середню геометричну і близьку до неї середню аріфметіческуювелічіни. Вони характеризують середню швидкість, з якою змінюється величина залежною змінною за певні періоди часу: Оцінкою мінливості членів ряду динаміки служить середньоквадратичне відхилення. При виборі рівнянь регресії для опису рядів динаміки враховують форму тренду, яка може бути лінійної (або приведена до лінійної) і нелінійної. Про правильність вибору рівняння регресії зазвичай судять за подібністю емпірично спостережених і обчислених значень залежної змінної. Більш точним у вирішенні цього завдання є метод дисперсійного аналізу регресії (тема 12 п.4). Кореляція рядів динаміки. Нерідко доводиться зіставляти динаміку паралельно йдуть часових рядів, пов’язаних один з одним деякими загальними умовами, наприклад з’ясувати зв’язок між виробництвом сільськогосподарської продукції і зростанням поголів’я худоби за певний проміжок часу.

У таких випадках характеристикою зв’язку між змінними X і Y служить коефіцієнт кореляції R xy (при наявності лінійного тренда). Відомо, що тренд рядів динаміки, як правило, затушовується коливаннями членів ряду залежною змінною Y. Звідси виникає завдання двоякого роду: вимірювання залежності між зіставляється рядами, не виключаючи тренд, і вимір залежності між сусідніми членами одного і того ж ряду, виключаючи тренд. У першому випадку показником тісноти зв’язку між зіставляється рядами динаміки служить коефіцієнт кореляції (Якщо зв’язок лінійна), у другому — коефіцієнт автокореляції. Ці показники мають різні значення, хоча і обчислюються за одним і тим же формулам (див. Тему 1Неважко помітити, що на значенні коефіцієнта автокореляції позначається мінливість членів ряду залежною змінною: чим менше члени ряду відхиляються від тренда, тим вище коефіцієнт автокореляції, і навпаки. регресійний (лінійний) аналіз — статистичний метод дослідження впливу однієї або декількох незалежних змінних на залежну змінну. Незалежні змінні інакше називають регресорів або предикторами, а залежні змінні — критеріальними. Термінологія залежних і незалежних змінних відображає лише математичну залежність змінних (см. Хибна кореляція), А не причинно-наслідкові зв’язки. Цілі регресійного аналізу. Регресійний аналіз можна використовувати для визначення наявності зв’язку між змінними, оскільки наявність такого зв’язку і є передумова для застосування аналізу. Математичне визначення регресії. Строго регрессионную залежність можна визначити наступним чином. Нехай, — випадкові величини з заданим спільним розподілом ймовірностей. Якщо для кожного набору значень визначено умовне математичне очікування. то функція називається регресією величини Y за величинами, а її графік — лінією регресії по, або рівнянням регресії. Залежність від проявляється в зміні середніх значень Y при зміні. Хоча при кожному фіксованому наборі значень величина залишається випадковою величиною з певним розсіюванням. Для з’ясування питання, наскільки точно регресійний аналіз оцінює зміну Y при зміні, використовується середня величина дисперсії Y при різних наборах значень (фактично мова йде про міру розсіювання залежною змінною навколо лінії регресії).

Метод найменших квадратів (розрахунок коефіцієнтів) На практиці лінія регресії найчастіше шукається у вигляді лінійної функції (лінійна регресія), найкращим чином наближає шукану криву. Робиться це за допомогою методу найменших квадратів, коли мінімізується сума квадратів відхилень реально спостережуваних від їх оцінок (маються на увазі оцінки за допомогою прямої лінії, яка претендує на те, щоб представляти шукану регрессионную залежність): (M — обсяг вибірки). Цей підхід заснований на тому відомому факті, що фігурує в наведеному вираженні сума приймає мінімальне значення саме для того випадку, коли. то отримуємо матричне рівняння:, яке легко вирішується методом Гаусса. Отримана матриця буде матрицею, що містить коефіцієнти рівняння лінії регресії: Для отримання найкращих оцінок необхідно виконання передумов МНК (умов Гаусса-Маркова). В англомовній літературі такі оцінки називаються BLUE (Best Linear Unbiased Estimators) — найкращі лінійні незсунені оцінки. Інтерпретація параметрів регресії. Параметри є приватними коефіцієнтами кореляції; інтерпретується як частка дисперсії Y, пояснений, при закріпленні впливу інших предикторів, тобто вимірює індивідуальний внесок в пояснення Y. У випадку корелюють предикторов виникає проблема невизначеності в оцінках, які стають залежними від порядку включення предикторів в модель. У таких випадках необхідне застосування методів аналізу кореляційного і покрокового регресійного аналізу. Говорячи про нелінійних моделях регресійного аналізу, важливо звертати увагу на те, чи йде мова про нелінійність по незалежним змінним (з формальної точки зору легко зводиться до лінійної регресії), або про нелінійність по оцінюваним параметрами (що викликає серйозні обчислювальні труднощі).

При нелінійності першого виду з змістовної точки зору важливо виділяти поява в моделі членів виду,, що свідчить про наявність взаємодій між ознаками, і Д (див. Мультіколлінеарності). Див. також. посилання. література. Таблиця 8.3А. регресійна статистика регресійна статистика множинний R 0,998364 R-квадрат 0,99673 Нормований R-квадрат 0,996321 стандартна помилка 0,42405 спостереження 10. Величина R-квадрат, звана також мірою визначеності, характеризує якість отриманої регресійної прямої.

Це якість виражається ступенем відповідності між вихідними даними і регресійній моделі (розрахунковими даними). Міра визначеності завжди знаходиться в межах інтервалу. Якщо значення R-квадрата близько до одиниці, це означає, що побудована модель пояснює майже всю мінливість відповідних змінних. І навпаки, значення R-квадрата, близьке до нуля, означає погана якість побудованої моделі. У нашому прикладі міра визначеності дорівнює 0,99673, що говорить про дуже хорошій підгонці регресійної прямої до вихідних даних. Множинний R дорівнює квадратному кореню з коефіцієнта детермінації, ця величина приймає значення в інтервалі від нуля до одиниці.

У простому лінійному регресійному аналізі множинний R рівний коефіцієнту кореляції Пірсона. Дійсно, множинний R в нашому випадку рівний коефіцієнту кореляції Пірсона з попереднього прикладу (0,998364). Таблиця 8.3б. коефіцієнти регресії коефіцієнти стандартна помилка t-статистика Y-перетин 2,694545455 0,33176878 8,121757129 Мінлива X 1 2,305454545 0,04668634 49,38177965 Наведено усічений варіант розрахунків. Тепер розглянемо середню частину розрахунків, представлену в таблиці 8.3б. Тут дані коефіцієнт регресії b (2,305454545) і зміщення по осі ординат, тобто константа a (2,694545455). Якщо знак при коефіцієнті регресії — позитивний, зв’язок залежної змінної з незалежної буде позитивною.

У нашому випадку знак коефіцієнта регресії позитивний, отже, зв’язок також є позитивною. У таблиці 8.3в.

представлені результати виведення залишків. Для того щоб ці результати з’явилися в звіті, необхідно при запуску інструменту «Регресія» активувати чекбокс «Залишки». Таблиця 8.3в. залишки спостереження передбачене Y залишки стандартні залишки 1 9,610909091 -0,610909091 -1,528044662 2 7,305454545 -0,305454545 -0,764022331 3 11,91636364 0,083636364 0,209196591 4 14,22181818 0,778181818 1,946437843 5 16,52727273 0,472727273 1,182415512 6 18,83272727 0,167272727 0,418393181 7 21,13818182 -0,138181818 -0,34562915 8 23,44363636 -0,043636364 -0,109146047 9 25,74909091 -0,149090909 -0,372915662 10 28,05454545 -0,254545455 -0,636685276.

За допомогою цієї частини звіту ми можемо бачити відхилення кожної точки від побудованої лінії регресії. Найбільше абсолютне значення. Скласти рівняння лінійної регресії y ax b. З формул видно, що коефіцієнти регресії b у х і b х у мають той же знак, що і коефіцієнт кореляції, розмірність, рівну відношенню размерностей досліджуваних показників Х і У, І пов’язані співвідношенням: Так як, то. Це означає, що пряма регресії Y на Х має менший нахил до осі абсцис, ніж пряма регресії Х на Y. Методика виконання розрахунково-графічної роботи №Москва — 201Приклад виконання розрахунково-графічної роботи №Умова задачі: У групи спортсменів визначали результати в бігу на 100 м з бар’єрами X i (С) і стрибках в довжину Y i (М) (табл.). Перевірити, чи існує кореляційний зв’язок між досліджуваними ознаками і визначити достовірність коефіцієнта кореляції. Побудуємо кореляційне поле (діаграму розсіювання) і зробимо попередній висновок щодо зв’язку між досліджуваними ознаками.

3. Розрахуємо парний лінійний коефіцієнт кореляції Браве — Пірсона, попередньо розрахувавши основні статистичні показники двох вибірок. Для їх розрахунку складемо таблицю, в якій передостанній і останній стовпці необхідні для розрахунку стандартних відхилень, Якщо вони невідомі. Для нашого прикладу ці значення розраховані в першій розрахунково-графічної роботи, але для наочності покажемо розрахунок додатково. Отримане значення коефіцієнта кореляції дозволяє підтвердити попередній висновок і зробити остаточний висновок — зв’язок між досліджуваними ознаками: висновок: існує сильна, негативна статистично достовірна (р \u003d 0,95) зв’язок між бігом з перешкодами на дистанцію 100 м і стрибком в довжину. Це означає, що з поліпшенням результату в стрибку в довжину зменшується час пробігу дистанції 100 м. Отже, тільки 96% взаємозв’язку результатів в бігу на 100 м з бар’єрами і в стрибку в довжину пояснюється їх взаємовпливом, а інша частина, Е. 4% пояснюється впливом інших неврахованих факторів. 6. Розрахуємо коефіцієнти прямого і зворотного рівнянь регресії, скориставшись формулами, підставимо значення розрахованих коефіцієнтів в відповідну формулу і запишемо пряме і зворотне рівняння регресії: Для розрахунку коефіцієнта а 2 підставимо в пряме рівняння регресії замість b 2 розраховане значення, а замість Х і Y середнє арифметичне значення двох вибірок з таблиці: Підставимо отримані значення коефіцієнтів а 1 і b 1 в пряме рівняння регресії і запишемо рівняння прямої лінії: Для перевірки правильності розрахунків досить підставити в пряме рівняння середнє значення і визначити значення Y. отримане значення Y має бути близьким або рівним середньому значенню. При підстановці в зворотне рівняння регресії середнього значення, Отримане значення Х має бути близьким або рівним середньому значенню. Для графічної побудови теоретичних ліній регресії, як і для побудови будь-якої прямої, необхідно мати дві точки з діапазону значень Х і Y. Причому, в прямому рівнянні регресії незалежна змінна Х, А залежна Y, А в зворотному — незалежна змінна Y, А залежна Х. Координатами точки перетину ліній прямого і зворотного рівнянь регресії є значення середніх арифметичних двох вибірок (з урахуванням похибок заокруглень при наближених розрахунках). висновок: знаючи результат бігу з перешкодами на дистанцію 100 м, за прямим рівнянням регресії, можна теоретично визначити результат стрибка в довжину; і навпаки, знаючи результат стрибка в довжину по зворотному рівняння регресії, можна визначити результат бігу з перешкодами. Під час навчання студенти дуже часто стикаються з різноманітними рівняннями. Одне з них — рівняння регресії — розглянуто в даній статті. Такий тип рівняння застосовується спеціально для опису характеристики зв’язку між математичними параметрами. Даний вид рівності використовують в статистиці і економетрики.

Визначення У математиці під регресією мається на увазі якась величина, що описує залежність середнього значення сукупності даних від значень іншої величини. Рівняння регресії показує як функції певної ознаки середнє значення іншої ознаки. Функція регресії має вигляд простого рівняння у \u003d х, в якому у виступає залежною змінною, а х — незалежної (ознака-фактор). Фактично регресія виражатися як у \u003d f (x). Які бувають типи зв’язків між змінними. Якщо ж між змінними не спостерігається рівноправності і в умовах сказано, яка змінна пояснює, а яка — залежна, то можна говорити про наявність зв’язку другого типу. Для того щоб побудувати рівняння лінійної регресії, Необхідно буде з’ясувати, який тип зв’язку спостерігається. види регрессий. На сьогоднішній день виділяють 7 різноманітних видів регресії: гіперболічна, лінійна, множинна, нелінійна, парна, зворотна, логарифмічно лінійна. Гіперболічна, лінійна і логарифмічна. Рівняння лінійної регресії застосовують в статистиці для чіткого пояснення параметрів рівняння. Воно виглядає як у \u003d з + т х + Е.

Гіперболічне рівняння має вигляд правильної гіперболи у \u003d з + т х + Е. Логарифмічно лінійне рівняння висловлює взаємозв’язок з допомогою логарифмічною функції: In у \u003d In з + т In x + In E. Множинна і нелінійна. Два більш складних виду регресії — це множинна і нелінійна. Рівняння множинної регресії виражається функцією у \u003d f (х 1, х х с) + E. У даній ситуації у виступає залежною змінною, а х — пояснює. Мінлива Е — стохастична, вона включає вплив інших факторів в рівнянні. Нелінійне рівняння регресії трохи суперечливо. З одного боку, щодо врахованих показників воно не лінійне, а з іншого боку, в ролі оцінки показників воно лінійне.

Зворотні і парні види регресій. Зворотній — це такий вид функції, який необхідно перетворити в лінійний вид. У самих традиційних прикладних програмах вона має вигляд функції у \u003d 1 с + т х + Е.

Парне рівняння регресії демонструє взаємозв’язок між даними в якості функції у \u003d f (x) + Е.

Точно так же, як і в інших рівняннях, у залежить від х, а Е — стохастичний параметр. поняття кореляції. Це показник, який демонструє існування взаємозв’язку двох явищ або процесів.

Сила взаємозв’язку виражається як коефіцієнт кореляції. Його значення коливається в рамках інтервалу [-1; +1]. Негативний показник говорить про наявність зворотного зв’язку, позитивний — про прямий. Якщо коефіцієнт приймає значення, рівне 0, то взаємозв’язку немає. Чим ближче значення до 1 — тим сильніше зв’язок між параметрами, чим ближче до 0 — то менше. методи. кореляційні параметричні методи можуть оцінити тісноту взаємозв’язку. Їх використовують на базі оцінки розподілу для вивчення параметрів, що підкоряються закону нормального розподілу. Параметри рівняння лінійної регресії необхідні для ідентифікації виду залежності, функції регресійного рівняння і оцінювання показників обраної формули взаємозв’язку.

В якості методу ідентифікації зв’язку використовується поле кореляції. Для цього всі існуючі дані необхідно зобразити графічно. У прямокутної двомірної системі координат необхідно нанести всі відомі дані. Так утворюється поле кореляції. Значення описує фактора відзначаються уздовж осі абсцис, в той час як значення залежного — уздовж осі ординаЯкщо між параметрами є функціональна залежність, вони шикуються в формі лінії. У разі якщо коефіцієнт кореляції таких даних буде менше 30%, можна говорити про практично повну відсутність зв’язку. Якщо він знаходиться між 30% і 70%, то це говорить про наявність зв’язків середньої тісноти. 100% показник — свідчення функціонального зв’язку. Кореляція для множинної регресії. Коефіцієнт детермінації є показником квадрата множинної кореляції. Він говорить про тісноті взаємозв’язку представленого комплексу показників з досліджуваним ознакою. Він також може говорити про характер впливу параметрів на результаРівняння множинної регресії оцінюють за допомогою цього показника. Даний метод є способом оцінювання факторів регресії. Його суть полягає в мінімізації суми відхилень в квадраті, отриманих внаслідок залежності фактора від функції. Парне лінійне рівняння регресії можна оцінити за допомогою такого методу. Цей тип рівнянь використовують в разі виявлення між показниками парної лінійної залежності. параметри рівнянь. Кожен параметр функції лінійної регресії несе певний сенс. Парне лінійне рівняння регресії містить два параметри: з і Параметр т демонструє середня зміна кінцевого показника функції у, за умови зменшення (збільшення) змінної х на одну умовну одиницю.

Якщо змінна х — нульова, то функція дорівнює параметру.

Якщо ж змінна х не нульовий, то фактор з не несе в собі економічний сенс. Єдине вплив на функцію надає знак перед фактором. Якщо там мінус, то можна сказати про уповільненому зміні результату в порівнянні з фактором. Якщо там плюс, то це свідчить про прискорене зміні результату. Кожен параметр, що змінює значення рівняння регресії, можна висловити через рівняння. Наприклад, фактор з має вигляд з \u003d y — тх. згруповані дані.

Бувають такі умови задачі, в яких вся інформація групується за ознакою x, але при цьому для певної групи вказуються відповідні середні значення залежного показника. В такому випадку середні значення характеризують, яким чином змінюється показник, що залежить від х.

Таким чином, згрупована інформація допомагає знайти рівняння регресії. Її використовують в якості аналізу взаємозв’язків. Однак у такого методу є свої недоліки. На жаль, середні показники досить часто піддаються зовнішнім коливанням. Дані коливання не є відображенням закономірності взаємозв’язку, вони всього лише маскують її «шум». Середні показники демонструють закономірності взаємозв’язку набагато гірше, ніж рівняння лінійної регресії. Однак їх можна застосовувати у вигляді бази для пошуку рівняння. Перемножая чисельність окремої сукупності на відповідну середню можна отримати суму у в межах групи. Далі необхідно підбити всі отримані суми і знайти кінцевий показник у. Трохи складніше проводити розрахунки з показником суми ху.

У тому випадку якщо інтервали малі, можна умовно взяти показник х для всіх одиниць (в межах групи) однаковим. Слід перемножити його з сумою у, щоб дізнатися суму творів x на у. Далі все суми підбиваються разом і виходить загальна сума ху. Множинне парне рівняння регресії: оцінка важливості зв’язку. Як розглядалося раніше, множинна регресія має функцію виду у \u003d f (x 1, x 2 x m) + E.

Найчастіше таке рівняння використовують для вирішення проблеми попиту і пропозиції на товар, процентного доходу по викупленим акціям, вивчення причин і виду функції витрат виробництва. Її також активно застосовують в самих різноманітних макроекономічних дослідженнях і розрахунках, а ось на рівні мікроекономіки таке рівняння застосовують трохи рідше. Основним завданням множинної регресії є побудова моделі даних, що містять велику кількість інформації, для того щоб в подальшому визначити, який вплив має кожен із чинників окремо і в їх загальної сукупності на показник, який необхідно змоделювати, і його коефіцієнти. Рівняння регресії може приймати найрізноманітніші значення. При цьому для оцінки взаємозв’язку зазвичай використовується два типи функцій: лінійна і нелінійна. Лінійна функція зображується у формі такого взаємозв’язку: у \u003d а 0 + a 1 х 1 + а 2 х 2, +. + a m x m. При цьому А2, a m, вважаються коефіцієнтами «чистої» регресії. Вони необхідні для характеристики середнього зміни параметра у зі зміною (зменшенням або збільшенням) кожного відповідного параметра х на одну одиницю, з умовою стабільного значення інших показників.

Нелінійні рівняння мають, наприклад, вид статечної функції у \u003d ах 1 b1 х 2 bx m bm. В даному випадку показники b 1, b b m — називаються коефіцієнтами еластичності, вони демонструють, яким чином зміниться результат (на скільки%) при збільшенні (зменшенні) відповідного показника х на 1% і при стабільному показнику інших факторів. Які фактори необхідно враховувати при побудові множинної регресії. Необхідно мати певне розуміння природи взаємозв’язків між економічними факторами і модельований. Фактори, які необхідно буде включати, повинні відповідати наступним ознаками: Повинні бути підвладні кількісному вимірюванню. Для того щоб використовувати фактор, що описує якість предмета, в будь-якому випадку слід надати йому кількісну форму. Чи не має бути присутня интеркорреляций факторів, або функціональна взаємозв’язок. Такі дії найчастіше призводять до незворотних наслідків — система звичайних рівнянь стає не обумовленої, а це тягне за собою її ненадійність і нечіткість оцінок. У разі існування величезного показника кореляції не існує способу для з’ясування ізольованого впливу факторів на остаточний результат показника, отже, коефіцієнти стають неінтерпретіруемимі. методи побудови. Існує величезна кількість методів і способів, що пояснюють, яким чином можна вибрати чинники для рівняння. Однак всі ці методи будуються на відборі коефіцієнтів за допомогою показника кореляції. Серед них виділяють: Перший метод передбачає відсів всіх коефіцієнтів з сукупного набору. Другий метод включає введення безлічі додаткових чинників. Ну а третій — відсів факторів, які були раніше застосовані для рівняння. Кожен з цих методів має право на існування. У них є свої плюси і мінуси, але вони все по-своєму можуть вирішити питання відсіву непотрібних показників. Як правило, результати, отримані кожним окремим методом, досить близькі. Методи багатовимірного аналізу. Такі способи визначення чинників базуються на розгляді окремих поєднань взаємозалежних ознак. Вони включають в себе дискримінантний аналіз, розпізнавання образів, спосіб головних компонент і аналіз кластерів. Крім того, існує також факторний аналіз, однак він з’явився внаслідок розвитку способу компоненВсі вони застосовуються в певних обставинах, при наявності певних умов і факторів. Розмістимо точки на двовимірному графіку розсіювання і скажемо, що ми маємо лінійне співвідношення, Якщо дані апроксимуються прямою лінією. Якщо ми вважаємо, що y залежить від x, Причому зміни в y викликаються саме змінами в x, Ми можемо визначити лінію регресії (регресія y на x), Яка найкраще описує прямолінійний співвідношення між цими двома змінними. Статистичне використання слова «регресія» виходить з явища, відомого як регресія до середнього, що приписується серу Френсісу Гальтону (1889). Він показав, що, хоча високі батьки мають тенденцію мати високих синів, середнє зростання синів менше, ніж у їх високих батьків. Середнє зростання синів «регресував» і «рухався назад» до середнього зросту всіх батьків в популяції. Таким чином, в середньому високі батьки мають більш низьких (але все-таки високих) синів, а низькі батьки мають синів вищих (але все-таки досить низьких). лінія регресії. Y — залежна змінна або змінна відгуку. Це значення, яке ми очікуємо для y (В середньому), якщо ми знаємо величину x, Тобто це «передбачене значення y » a — вільний член (перетин) лінії оцінки; це значення Y, коли x \u003d 0 (Рис.b — кутовий коефіцієнт або градієнт оціненої лінії; вона являє собою величину, на яку Y збільшується в середньому, якщо ми збільшуємо x на одну одиницю. a і b називають коефіцієнтами регресії оціненої лінії, хоча цей термін часто використовують тільки для b. Парну лінійну регресію можна розширити, включивши в неї більше однієї незалежної змінної; в цьому випадку вона відома як множинна регресія. Рис.Лінія лінійної регресії, що показує перетин a і кутовий коефіцієнт b (величину зростання Y при збільшенні x на одну одиницю) Ми виконуємо регресійний аналіз, використовуючи вибірку спостережень, де a і b — вибіркові оцінки істинних (генеральних) параметрів, α і β, які визначають лінію лінійної регресії в популяції (генеральної сукупності). Підгонка оцінюється, розглядаючи залишки (вертикальне відстань кожної точки від лінії, наприклад, залишок \u003d спостерігається y — передбачений y, Мал. 2). Припущення лінійної регресії. Отже, для кожної що спостерігається величини залишок дорівнює різниці і відповідного передбаченого Кожен залишок може бути позитивним або негативним. Якщо припущення лінійності, нормальності і або постійної дисперсії сумнівні, ми можемо перетворити або і розрахувати нову лінію регресії, для якої ці припущення задовольняються (наприклад, використовувати логарифмічні перетворення або ін.). Аномальні значення (викиди) і точки впливу. «Впливове» спостереження, якщо воно опущено, змінює одну або більше оцінок параметрів моделі (тобто кутовий коефіцієнт або вільний член). Викид (спостереження, яке суперечить більшості значень в наборі даних) може бути «впливовим» наглядом і може добре виявлятися візуально, при огляді двовимірної діаграми розсіювання або графіка залишків. І для викидів, і для «впливових» спостережень (точок) використовують моделі, як їх взяти до уваги, так і без них, звертають увагу на зміну оцінки (коефіцієнтів регресії). При проведенні аналізу не варто відкидати викиди або точки впливу автоматично, оскільки просте ігнорування може вплинути на отримані результати. Завжди вивчайте причини появи цих викидів і аналізуйте їх. Гіпотеза лінійної регресії.

При побудові лінійної регресії перевіряється нульова гіпотеза про те, що генеральний кутовий коефіцієнт лінії регресії β дорівнює нулю. Обчислити статистику критерію, рівну відношенню, яка підпорядковується розподілу з ступенями свободи, де стандартна похибка коефіцієнта.

Оцінка якості лінійної регресії: коефіцієнт детермінації R Через лінійного співвідношення і ми очікуємо, що змінюється, у міру того як змінюється, І називаємо це варіацією, яка обумовлена \u200b\u200bабо пояснюється регресією. Залишкова варіація повинна бути якомога менше. Якщо це так, то велика частина варіації буде пояснюватися регресією, а точки лежатимуть близько до лінії регресії, тобто лінія добре відповідає даним. частку загальної дисперсії, Яка пояснюється регресією називають коефіцієнтом детермінації, Зазвичай висловлюють через процентне співвідношення і позначають R 2 (В парній лінійної регресії це величина r 2, Квадрат коефіцієнта кореляції), дозволяє суб’єктивно оцінити якість рівняння регресії. Застосування лінії регресії для прогнозу. Можна застосовувати регрессионную лінію для прогнозування значення за значенням в межі спостережуваного діапазону (ніколи не екстраполюйте поза цими межами). Ми передбачаємо середню величину ведеться спостереження, які мають певне значення шляхом підстановки цього значення в рівняння лінії регресії. Отже, якщо прогнозуємо як Використовуємо цю передбачену величину і її стандартну помилку, Щоб оцінити довірчий інтервал для істинної середньої величини в популяції. Повторення цієї процедури для різних величин дозволяє побудувати довірчі кордону для цієї лінії. Це смуга або область, яка містить справжню лінію, наприклад, з 95% довірчою ймовірністю. Прості регресивні плани. Прості регресивні плани містять один безперервний предиктор.

Якщо існує 3 спостереження зі значеннями предиктора P, наприклад, 7, 4 і 9, а план включає ефект першого порядку P, то матриця плану X матиме вигляд. Якщо простий регресійний план містить ефект вищого порядку для P, наприклад квадратичний ефект, то значення в стовпці X1 в матриці плану будуть зведені до другого степеня: Сигма -обмежені і сверхпараметрізованние методи кодування не застосовуються по відношенню до простих регресійний планам і іншим планам, що містить тільки безперервні предиктори (оскільки, просто не існує категоріальних предикторов). Незалежно від обраного методу кодування, значення безперервних змінних збільшуються у відповідній мірі і використовуються як значення для змінних X. При цьому перекодування не виконується. Крім того, при описі регресійних планів можна опустити розгляд матриці плану X, а працювати тільки з регресійний рівнянням. Приклад: простий регресійний аналіз. Дані складені на основі порівняння переписів 1960 і 1970 випадково відібраних 30 округах. Назви округів представлені у вигляді імен спостережень. Інформація щодо кожної змінної представлена \u200b\u200bнижче: завдання дослідження. Для цього прикладу будуть аналізуватися кореляція рівня бідності і ступінь, яка передбачає відсоток сімей, які перебувають за межею бідності. Отже ми будемо трактувати змінну 3 (Pt_Poor) як залежну змінну. Можна висунути гіпотезу: зміна чисельності населення і відсоток сімей, які перебувають за межею бідності, пов’язані між собою. Здається розумним очікувати, що бідність веде до відтоку населення, отже, тут буде негативна кореляція між відсотком людей за межею бідності і зміною чисельності населення. Отже ми будемо трактувати змінну 1 (Pop_Chng) як змінну-предиктор. Перегляд результатів. коефіцієнти регресії. На перетині рядка Pop_Chng і шпальти Парам. не стандартизовані коефіцієнт для регресії Pt_Poor на Pop_Chng дорівнює -0.40374. Це означає, що для кожного зменшення чисельності населення на одиницю, є збільшення рівня бідності.40374. Верхній і нижній (за замовчуванням) 95% довірчі межі для цього не стандартизованого коефіцієнта не включають нуль, так що коефіцієнт регресії значимо на рівні p. Способи завдання рівняння парної регресії. Лінійна парна регресія. Рівняння регресії доповнюється показником тісноти зв’язку. В якості такого показника виступає лінійний коефіцієнт кореляції, який розраховують за формулою: Для оцінки якості підбору лінійної функції розраховується квадрат лінійного коефіцієнта кореляції, званий коефіцієнтом детермінації. Коефіцієнт детермінації характеризує частку дисперсії результативної ознаки, що пояснюється регресією, в загальної дисперсії результативної ознаки: Після того як рівняння регресії побудовано, виконується перевірка його адекватності і точності.Еті властивості моделі досліджуються на основі аналізу ряду залишків ε i (відхилень розрахункових значень від фактичних). кореляційний та регресійний аналіз проводиться для обмеженої за обсягом сукупності. У зв’язку з цим показники регресії, кореляції і детермінації можуть бути перекручені дією випадкових факторів. Щоб перевірити, наскільки ці показники характерні для всієї сукупності, чи не є вони результатом збігу випадкових обставин, необхідно перевірити адекватність побудованої моделі. Перевірка адекватності моделі полягає у визначенні значущості моделі і встановлення наявності або відсутності систематичної помилки. значення у 1 відповідають даним х i при теоретичних значеннях а 0 і а 1, випадкові. Випадковими будуть і розраховані по ним значення коефіцієнтів а 0 і а Перевірка значімостіотдельних коефіцієнтів регресії проводиться за t-критерієм Стьюдента шляхом перевірки гіпотези рівності нулю кожного коефіцієнта регресії. При цьому з’ясовують, наскільки обчислені параметри характерні для відображення комплексу умов: чи не є отримані значення параметрів результатом дії випадкових величин. Для відповідних коефіцієнтів регресії застосовують відповідні формули. Розрахункові значення t-критерію порівнюють з табличним значенням критерію t αγ яке визначається при (n — k — 1) ступенях свободи і відповідному рівні значущості α. Якщо розрахункове значення t-критерію перевершує його табличне значення t αγ, то параметр визнається значущим. В такому випадку практично неймовірно, що знайдені значення параметрів обумовлені лише випадковими збігами. Визначення дисперсії на одну ступінь свободи призводить дисперсії до порівнянного виду. Зіставляючи факторну і залишкову дисперсії в розрахунку на одну ступінь свободи, отримаємо величину критерію Фішера: Для перевірки значимості рівняння регресії в цілому використовують F-критерій Фішера. У разі парної лінійної регресії значущість моделі регресії визначається за такою формулою. Якщо при заданому рівні значущості розрахункове значення F-критерію з γ 1 \u003d k, γ 2 \u003d (п — k — 1) ступенями свободи більше табличного, то модель вважається значущою, гіпотеза про випадкову природу оцінюваних характеристик відхиляється і визнається їх статистична значимість і надійність. Перевірка наявності або відсутності систематичної помилки (виконання передумов методу найменших квадратів — МНК) здійснюється на основі аналізу ряду залишків. Розрахунок випадкових помилок параметрів лінійної регресії і коефіцієнта кореляції виробляють за формулами. Для перевірки якості випадковості ряду залишків можна використовувати критерій поворотних точок (піків).

Точка вважається поворотною, якщо виконуються наступні умови: ε i -1 ε i +1 або ε i -1\u003e ε i, А потім — на комбінацію клавіш + +.

Коментарі

Популярні дописи з цього блогу

самостійна робота паралельність прямих і площин у просторі

правила безпеки під час проведення дослідів з природознавства у початкових класах

географія 7 клас практикум кобернік гдз