умови паралельності прямої і площини

і умови паралельності прямої площини.

Кут між прямою і площиною. Умови паралельності та перпендикулярності прямої і площини. Кутом між прямою і площиною називається кут між цією прямою та її проекцією на дану площину. Нехай площина П і пряма задані рівняннями. Позначимо гострий кут між прямою та її проекцією на площину П (рис. 4) через j, а кут між нормальним вектором площини П та напрямним вектором прямої – через. Якщо, то, тому ; якщо ж, то і. Отже, в будь-якому випадку. Але, тому кут між прямою і площиною знаходиться за формулою. Нормальний вектор площини має координати, а напрямний вектор прямої –. Знайдемо їхній скалярний добуток і за формулою (15) отримаємо, що дана пряма і площина паралельні, що і треба було довести. † Очевидно, що за нормальний вектор шуканої площини можна взяти паралельний йому напрямний вектор прямої.

Залишається використати формулу (11.3) – рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно вектору або. † Візьмемо за напрямний вектор шуканої прямої паралельний йому нормальний вектор даної площини. Знаючи координати точки, через яку проходить пряма та її напрямний вектор, запишемо за формулою (3) канонічні рівняння цієї прямої. Напрямні косинуси прямої знайдемо за формулою (5): Для визначення точки перетину площини П і прямою, які задані рівняннями і, потрібно скласти параметричні рівняння прямої, розв’язати систему, складену з отриманих рівнянь прямої та рівняння площини, і проаналізувати її: Запишемо рівняння прямої в параметричній формі: поклавши, отримаємо Підставивши отримані значення змінних х, у, z в рівняння площини, маємо, звідки. Підставивши тепер отримане значення в параметричні рівняння прямої, отримаємо. Отже, – шукана точка перетину прямої і площини. † Використовуючи рівність (11.10), запишемо рівняння пучки площин, що проходять через дану пряму. Так як координати точки М повинні задовольняти рівняння площини, то підставивши їх в отримане співвідношення,,, маємо, або, звідки.

Підставляючи тепер в рівняння пучки значення, одержимо. † Використовуючи умову (15) перпендикулярності прямої і площини та поклавши,,,, складемо рівняння площини, що проходить через початок координат і є перпендикулярною заданій прямій. Це рівняння має вигляд. Знайдемо точку перетину отриманої площини і заданої прямої. Параметричне рівняння прямої записується так. Для визначення t маємо рівняння, звідки. Координати точки перетину, тобто. Залишається скласти рівняння прямої, що проходить через початок координат і через точку М ; використовуючи співвідношення (6), отримаємо або. † Запишемо рівняння довільної прямої, що проходить через точку М . Координати напрямного вектора прямої, перпендикулярної площині, можна замінити координатами нормального вектора цієї площини. Тоді рівняння цієї прямої запишеться у вигляді. Знайдемо проекцію точки М на дану площину, розв’язавши систему Перепишемо рівняння прямої в параметричному вигляді Підставляючи ці вирази в рівняння площини, знайдемо, звідки, Координати симетричної точки знайдемо з формул,,, тобто,,, отже,, Значить † Рівняння площини, що проектує точку М на дану пряму, має вигляд. Координати нормального вектора площини, перпендикулярної прямій, замінимо координатами напрямного вектора даної прямої; тоді отримаємо або. Знайдемо проекцію точки М на пряму, для чого розв’яжемо систему рівнянь Параметричні рівняння даної прямої мають вигляд Підставляючи x, y і z площини, знайдемо. Звідси, Тоді координати симетричної точки можна знайти, використовуючи формули для координат середини відрізка,,, звідки,,, отже † Запишемо рівняння першої із заданих прямих за допомогою рівняння двох площин, що проектують її відповідно на площини Оху і Oyz : Рівняння пучки площин, що проходять через цю пряму, має вигляд або. Використовуючи умову паралельності прямої і площини, визначимо так, щоб відповідна площина пучки була паралельною другій із заданих площин. Маємо, або, звідки. Таким чином, шукана площина визначається рівнянням. † Рівняння пучки площин, що проходять через дану пряму, має вигляд або. Використовуючи умову перпендикулярності площин, виберемо з цієї пучки площину, яка проектує дану пряму на задану площину. Отже, рівняння площини, що проектує пряму, має вигляд, або. Шукану проекцію можна визначити як лінію перетину двох площин – заданої і тієї, що проектує, Звівши ці рівняння прямої до канонічного вигляду, одержимо. теорія, основні формули, позначення, ребуси, загадки, задачі та поняття з природничих дисциплін. Цікаві факти про видатних вчених фіз.-мат. дисциплін на сайті formula.kr.ua. Паралельність прямих і площин у просторі. Ознака паралельності площин.

Взаємне розміщення двох площин у просторі, означення паралельних площин. Ми знаємо, якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій (аксіома С 2). Звідси випливає, що дві площи­ни або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок (демонструємо схему, наведену нижче). Ознака паралельності прямої і площини. Паралельність прямої а і площини α позначається так: а || a. Наочне уявлення про пряму, яка паралельна площині, дають лінії перетину стіни і стелі — ці лінії паралельні площині підлоги. Відрізок називається пара­лельним площині, якщо він є частиною прямої, паралельної площині. Ознака мимобіжності прямих. Часто при розв’язуванні задач необхідно з’ясовувати: чи мимобіжні дані прямі? Користуючись означенням мимобіжності прямих, важко відповісти на це питання. Тому сформулюємо й доведемо ознаку мимобіжних прямих. Якщо одна з двох прямих лежить у площині, а друга пере­тинає цю площину в точці, яка не лежить на першій пря­мій, то ці прямі мимобіжні. Д оведення. Ознака паралельності прямих. Як довести паралельність двох прямих на площині? Можна скористати­ся означенням або ознаками паралельності, тобто теоремами, які дають до­статні умови паралельності.

Ви вивчали три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою.

Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії. Сформулюємо її. Доведення теореми можна провести так, як це зроблено в підручни­ку, причому теорему вчитель спочатку доводить сам, а потім повторює доведення з учнями, звертаючи увагу на такі питання: чому площини β і γ різні? Чому точка В не лежить на прямій с? Чому площина γ; перетинає площину β, а не пристає до β?

Коментарі

Популярні дописи з цього блогу

самостійна робота паралельність прямих і площин у просторі

правила безпеки під час проведення дослідів з природознавства у початкових класах

географія 7 клас практикум кобернік гдз