самостійна робота паралельність прямих і площин у просторі

просторі робота і у самостійна площин прямих паралельність.

Геометрія. 10 клас. Паралельність прямих і площин у просторі. Зміст. Паралельність прямих і площини. Дві прямі в просторі називаються паралельними, якщо вони лежать в одній площині й не перетинаються. Прямі, які не лежать в одній площині, називаються мимобіж­ними. Зверніть увагу: «не лежать в одній площині» і «лежать у різних площинах» — це різні твердження.

Наприклад, паралельні прямі a і b лежать у різних площинах і (див.

рисунок), але через них можна провести площину, яка міститиме a і b водночас. Можна довести, що всі прямі, які перетинають дві паралельні прямі, лежать в одній площині. Теорема. Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну.

 Ознака паралельності прямих. Дві прямі, паралельні третій прямій, паралельні між собою. Із цієї теореми випливає, що середини сторін просторового чотирикутника (див. рисунок) є вершинами паралелограма (вершини просторового чотирикутника не лежать в одній площині). Ознака паралельності прямої і площини. Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна будь-якій прямій на цій площині. Кожна пряма цієї площини буде або паралельна даній, або мимобіжна з нею. На рисунку: ; ; ; a і b — мимобіжні;.

Теорема 3. Через точку, що не лежить на площині, можна провести безліч прямих, паралельних даній площині, причому всі вони лежать в одній площині (паралельній даній). Теорема 4. Якщо площина перетинає одну з двох паралельних прямих, то вона перетинає й другу пряму (див. рисунок). На рисунку. Ознака паралельності площин. Якщо дві прямі однієї площини, які перетинаються й відповідно паралельні двом прямим другої площини (див. рисунок), то ці площини паралельні. Теорема 2 (обернена). Якщо в одній площині є дві прямі, які перетинаються, і ці прямі паралельні другій площині, то такі площини паралельні. Зверніть увагу : прямі мають обов’язково перетинатися. Дійсно, в площині може бути скільки завгодно прямих, паралельних прямій a (див. рисунок нижче), а значить, і площині, і при цьому площини і не будуть паралельними. Тестові завдання для тематичних контрольних робіт з геометрії у 10 класі. У завданнях 1-6 мають по п’ять варіантів відповідей, серед яких тільки ОДИН правильний. Виберіть правильну, на вашу думку, відповідь та позначте її в бланку відповідей. 1. Дано паралельні прямі а і. Скільки існує площин, які проходять через пряму а і паралельні прямій в? А Б В Г Д Жодної Одна Дві Три Безліч. Якщо в кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 через точки K, L, M – середини ребер В 1 С 1, D 1 C 1, DC — проведено січну площину KLM, то вона паралельна площині: 3. Якщо дана пряма паралельна площині, то … А Б В Г Д Усі прямі площини паралельні даній прямій У площині існують прямі, які не паралельні даній прямій Кожна пряма площини – мимобіжна з даною прямою У площині існують прямі, що перетинають дану пряму Відповідь відрізняється від вище-наведених. 4. Якщо дві суміжні сторони паралелограма паралельні площині α, то площина паралелограма і площина α … A Б В Г Д Паралельні Перетинаються Збігаються чи паралельні Мимобіжні Паралельні чи перетинаються. Діагоналі протилежних граней АА 1 В 1 В і DD 1 C 1 C зображеного куба … А Б В Г Д Паралельні Мимобіжні Паралельні або мимобіжні Перетинаються Перетинаються або мимобіжні. A Б В Г Д Прямі DC i MN перетинаються Прямі ВС і ВМ паралельні Пряма АВ перетинає площину DCM Пряма АВ не належить площині АВМ Пряма CD паралельна площині АВМ. До кожного рядка, позначеного ЦИФРОЮ доберіть один рядок, позначений БУКВОЮ і поставте позначки у бланку відповідей на перетині відповідних рядків (цифри) і колонок (букви). 7. На рисунку зображено куб ABCDA 1 B 1 C 1 D Установіть відповідність між взаємним розміщенням прямих (1 – 4) та їхніми назвами (А – Д). Паралельні прямі. ABC i DCC 1 Мимобіжні прямі Б. DCC 1 i AB Паралельні площини. AD i B 1 C 1 Паралельні пряма і площина Г. AD 1 i B 1 C. BB 1 C 1 i ADD 8 Площина α паралельна основам FC і KT трапеції KFCT, перетинає сторони FK і CT у точках M і N відповідно. М — середина FK, KT = 10 см, FC = 6 см. Знайти довжину відрізка MN 9. Дано дві паралельні площини α і β. Точки А і В належать площині α, а точки С і D – площині β. Відрізки AD і BC перетинаються в точці S. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо CD = 3 см, CS = 10 см, BS = 4 см. Наведіть повне розв’язання завдання 10. Дано мимобіжні прямі а і. А Б В Г Д Дві Жодної Одна Безліч Три. 3. Якщо дана пряма паралельна площині, то вона паралельна … А Б В Г Д Усім прямим цієї площини Тільки одній прямій цієї площини Двом прямим цієї площини, що перетинаються Безлічі прямих цієї площини Відповідь відрізняється від вище-наведених. Якщо дві суміжні сторони трапеції паралельні площині α, то площина α і площина трапеції … A Б В Г Д Перетинаються Паралельні Мимобіжні Збігаються чи паралельні Паралельні чи перетинаються.

Діагоналі суміжних граней АА 1 В 1 В і ВВ 1 С 1 С зображеного куба … А Б В Г Д Перетинаються Мимобіжні Паралельні або мимобіжні Перетинаються або мимобіжні Паралельні або перетинаються.

Якщо паралелограм АВСD і трапеція ABD 1 C 1 (АВ – основа) не лежать в одній площині, то: A Б В Г Д Пряма АВ паралельна площині C 1 D 1 С Пряма C 1 D 1 перетинає площину АВС Пряма CD перетинає площину АВD 1 Прямі АВ і ВС — паралельні Прямі АD і ВС — мимобіжні. Паралельність у просторі. Розв’язування задач. Розгляд програми вивчення паралельності прямих у просторі. Аналіз викладення теми конструювання геометричних тіл та дослідження їхніх властивостей у шкільних підручниках геометрії.

Методика навчання учнів теоретичного матеріалу та розв’язування завдань. Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже. На четвертому уроці учні ознайомлюються із ознакою та властивостями паралельних прямих у просторі.

Ознайомлення учнів з ознакою паралельності прямих у просторі можна почати з ознак паралельності прямих на площині. Учитель: Як довести паралельність двох прямих на площині? Можна скористатися означенням або ознаками паралельності, тобто теоремами, які дають достатні умови паралельності. Ви вивчали три ознаки паралельності прямих на площині: за рівністю між собою внутрішніх різносторонніх кутів між двома прямими і січною, за рівністю суми внутрішніх односторонніх кутів 180°, а також теорему, що дві прямі, які паралельні третій, паралельні між собою. Перші дві ознаки паралельності не мають аналогів для прямих у просторі. Остання ознака справедлива і в стереометрії. Сформулюємо її.Нехай площини і перетинаються по прямій. Де лежить точка перетину прямої b, що лежить у, з площиною (якщо вона існує)? Скільки прямих, що не мають спільних точок з прямою а, можна провести через точку А, яка лежить поза прямою а? А скільки з них паралельні прямій а? На слідуючому уроці основна увага приділяється розв’язуванню задач і вправ на застосування властивостей та ознаки паралельності прямих у просторі. Розгляд взаємного розміщення прямих у просторі за вказаною вище схемою дає змогу вивчати взаємне розміщення прямої і площини, двох площин на основі аналізу «запасу» спільних точок цих фігур. При цьому можливий як «лінійний» варіант вивчення спочатку всього матеріалу про взаємне розміщення прямої і площини, а потім — про взаємне розміщення двох площин, так і «змішаний»: паралельне вивчення і взаємного розміщення прямої та площини, і взаємного розміщення двох площин на основі аналогій та відмінностей. На першому уроці перед тим, як розглянути можливі випадки розміщення прямої і площини у просторі, доцільно виконати вправи: що можна сказати про прямі, якщо вони не мають спільних точок; мають одну спільну точку; мають дві спільні точки? Обговорення ж питання про взаємне розміщення прямої і площини слід розпочати зі звернення до наочних уявлень учнів про взаємне розміщення прямих і площин. Вони в змозі дати відповідь на таке запитання: «Як можуть бути розміщені пряма і площина?», спираючись на власний досвід та інтуїцію. Відразу варто звернути увагу, що з означення ще не випливає існування прямої, паралельної даній площині. Цей факт потребує обґрунтування. Записуючи види розміщення прямої і площини у просторі, учні супроводжують їх малюнками. Усно наводять приклади взаємного розміщення прямої і площини на предметах класної кімнати. Перевірити засвоєння учнями тверджень вчитель може за допомогою тесту. (Додаток 1) Наступний урок присвячується ознайомлення учнів з ознакою паралельності прямої і площини. Насамперед повторюється взаємне розміщення прямої і площини у просторі і виконується вправа: що можна сказати про взаємне розміщення прямої і площини, якщо пряма і площина мають одну спільну точку; мають дві спільні точки; не мають спільних точок? Далі доводиться ознака паралельності прямої і площини і розв’язуються задачі.

Щоб уникнути одноманітності, бажано чергувати задачі на доведення з задачами на обчислення. Виявити умови, які забезпечують паралельність прямої і площини (відкрити ознаку паралельності) допоможуть задачі на побудову точки перетину прямої з площиною. Якщо цим задачам із самого початку не приділити достатньо уваги, то при розв’язуванні задач на перерізи многогранників учні матимуть певні труднощі. На заключному третьому уроці цього невеличкого блоку бажано виконати самостійну роботу або застосувати нетрадиційні форми проведення уроку: «круглий стіл», «брейн — ринг», урок — КВК тощо.

Після ознайомлення учнів із паралельністю прямої і площини учні переходять до вивчення наступного блоку «Паралельність площин у просторі». Перші два уроки присвячуються вивченню взаємного розміщення двох площин: площини, що перетинаються, паралельні площини. Викладання цього питання бажано почати з пояснення: якщо розглянути протилежні грані куба, то площини, яким вони належать, не будуть мати спільних точок. Також є грані, які мають спільні точки. Не будуть мати спільних точок і площини, в яких розміщені стеля і підлога, протилежні стіни кімнати, що має форму паралелепіпеда. Як розташовані стеля і стіни, підлога і стіни? Далі доводиться властивість площин, що перетинаються і розв’язуються задачі. Можна запропонувати учням побудувати лінію перетину двох площин та ін. Учні наводять приклади взаємного розміщення двох площин на предметах довкілля, на зображеннях многогранників. Після розгляду на моделях можливих положень двох площин у просторі, діти самостійно формулюють означення паралельних площин. На наступних двох уроках вивчається тема «Ознака паралельності площин». Ознаку паралельності двох площин вчитель формулює сам. Необхідно звернути увагу учнів на те, що виходячи з умови теореми, треба довести, що дані площини не можуть перетнутися, тобто підвести їх під означення паралельності площин. Вчитель може сам довести ознаку паралельності площин, а можна зробити це колективно, коли за допомогою навідних запитань вчитель підведе учнів доведення теореми. Для закріплення теореми розв’язують задачу: через середини бічних ребер тетраедра провели площину, довести, що ця площина паралельна основі тетраедра. На п’ятому та наступному уроці розглядаються властивості паралельних площин, доводиться теорема про паралельні площини і січну площину і теорема про перетин двох паралельних площин паралельними прямими. Для кращого сприйняття властивостей ліній перетину двох паралельних площин третьою площиною учням можна запропонувати відповісти на такі запитання: Після цього формулюється теорема: якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні. Теорему про відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами можна запропонувати довести самостійно. На заключному уроці даного блоку узагальнюється матеріал попередніх уроків, розв’язуються задачі і проводиться самостійна робота. Для засвоєння матеріалу блоку доцільно повторити такі питання з планіметрії, як паралельне (ортогональне) проектування на площині, подібність фігур, а також актуалізувати вже вивчений матеріал зі стереометрії. Особливу увагу при підготовці учнів до вивчення нового матеріалу слід акцентувати на повторенні поняття подібності фігур. Крім цього, актуалізація попереднього базового навчального матеріалу може бути проведена при обговоренні таких питань: Що являє собою перетин всіх прямих, які проходять через точки бічної сторони трапеції паралельно її основам, з прямою, що проходить через іншу бічну сторону? На першому уроці учні знайомляться з паралельним проектуванням. Застосування технічних засобів на уроці дозволяє прискорити формування наочного уявлення паралельного проектування. Зручно використовувати тіньову проекцію фігури на площину. Фігуру розміщають у світловому потоці і спостерігають її проекцію на екрані. При цьому допускається деяка умовність. Спостереження за тим, як розміщується на екрані проекція та окремі її деталі, дозволяє поступово підготувати учнів до правильного усвідомлення нового поняття і його властивостей. Бажано зробити запис у виді таблиці: властивості фігур, що зберігаються під час паралельного проектування і властивості фігур, що не зберігаються. На цьому уроці не завадить допомога комп’ютера. Головну увагу слід зосередити не на доведенні властивостей паралельного проектування, а на використанні цих властивостей для побудови зображень.

Рекомендується розглянути означення паралельної проекції точки, фігури, паралельного проектування, поняття площини проекцій, напряму проектування, використовуючи моделі, наочні засоби, зокрема «пластилінову» площину, спиці тощо. Учні мають усвідомити довільність вибору напряму проектування та площини проекцій. Доведення властивості «паралельною проекцією прямої є пряма» зводиться до обґрунтування того, що паралельною проекцією прямої є лінія перетину площини проекцій і площини, утвореної проектуючими прямими, що перетинають дану пряму. Перед розглядом властивості про проекції паралельних прямих можна задати учням такі запитання: «Чи можуть тіні від дротів ліній електропередач збігатися? Перетинатися?». Доцільно також звернути увагу учнів на те, що в центральній проекції відповідна властивість не справджується. З цим пов’язані наші зорові ілюзії: залізничні колії збігаються.

Перед розглядом властивості про відношення довжин двох паралельних відрізків при паралельному проектуванні доцільно докладно обговорити таке питання: «Чи зберігаються довжини відрізків при паралельному проектуванні?». Доведення цієї властивості також зводиться до розгляду двох випадків. Ефективним засобом закріплення розглянутих властивостей є обґрунтування низки тверджень про проекції найпростіших плоских фігур: кута, трикутника, паралелограма, трапеції, інших многокутників, їхній розгляд також є підготовкою до вивчення питань про зображення фігур у стереометрії. На слідуючому уроці згадуються властивості паралельного проектування, бо основною метою їх вивчення є набуття учнями навиків застосування їх при зображенні просторових фігур на площині. Учні повинні записати схему як діяти, щоб правильно зобразити фігуру на площині. Виконуючи завдання на зображення просторових фігур на площині, учні повинні малюнок супроводжувати відповідними записами. Наступні уроки — це уроки узагальнення вивченого матеріалу і плідної підготовки до контрольної роботи. Для підвищення інтересу в учнів до даної теми один із уроків можна провести у вигляді конкурсу- гри. Даний урок узагальнення та систематизації знань поданий в Додатку 2. Доцільно у завданні для контрольної роботи поєднувати тестові завдання і завдання, які потребують докладного розв’язку. Формування просторових уявлень учнів є одним з основних завдань теми. Водночас це одна з найскладніших педагогічних проблем. Тому з перших занять необхідно широко використовувати систему вправ на «відтворення» просторової ситуації за її описом чи рисунком.

Важливе місце слід відвести навчанню учнів зображенню геометричних фігур і використанню цих зображень при розв’язуванні задач. Рекомендується також активно використовувати при вивченні даної теми найпростіші геометричні тіла (хоча б куб і тетраедр), «забігаючи» трішки наперед. Ці фігури дають змогу розглядати не тільки задачі на уявні побудови, а й побудови на проекційному рисунку, зокрема, побудову точки перетину прямої і площини та лінії перетину двох площин, побудову найпростіших перерізів. Чітких алгоритмів розв’язування задач по даній темі немає.

Для вирішення завдань необхідно знати попередній теоретичний матеріал, тому що він широко використовується при розв’язуванні, як базовий матеріал. Розглянемо приклад розв’язування задачі №3.55 (с.102) з підручника Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець.О.) і складемо до неї алгоритм розв’язування. Через один кінець О відрізка ОА проведено площину. Через другий кінець А і точку В цього відрізка проведено паралельні прямі, які перетинають площину в точках А1 і В1.Знайдіть довжину відрізка АА1, якщо ВВ1=12 см, ОВ:АВ=3:2. Вчитель: Спочатку необхідно довести, що точки О, А 1 і В 1 лежать на одній прямій. Яку площину будемо розглядати? (Відповідь:площину О А А 1) — Але в умові задачі нам дано, що і. Який висновок можна зробити відносно прямої АА 1 і площини в?(Відповідь. Але це суперечить умові, що) Розділ ІІ. Аналіз системи задач до теми «Паралельність прямих у просторі» на прикладі підручника Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) та Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець.О.) та особливості навчання учнів їх розв’язувати. Темою «Паралельність прямих і площин у просторі» розпочинається вивчення курсу стереометрії у 10 класі. Тому основне її призначення — закладення основи для конструювання геометричних тіл, дослідження їхніх властивостей і вимірювання геометричних величин, пов’язаних з ними. Для цього вводяться основні поняття стереометрії (точки, прямі і площини), а також відношення між ними (належність, паралельність та ін.). Проводиться класифікація взаємного розміщення прямих і площин у просторі, вивчаються відповідні ознаки взаємного розміщення. У процесі вивчення даної теми поглиблюються знання учнів про аксіоматичну побудову математичної теорії, розвиваються їхні просторові уявлення. Вже з перших кроків вивчення стереометрії на перший план виступає ідея математичного моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших геометричних фігур і відповідних математичних відношень. До найважливіших завдань вивчення теми належить розгляд одного з основних методів зображення просторових фігур на площині — методу паралельного проектування і формування найпростіших навичок його застосування.

встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, мимобіжність прямих; застосовувати відношення паралельності між прямими і площинами у просторі для опису об’єктів фізичного простору і відношень між ними. Згідно проведеного дослідження і виявлених проблем розробити відповідний проект, направлений на усунення недоліків у роботі з учнями старших класів. Методи дослідження. Теоретичні — системний аналіз психолого-педагогічної і навчально-методичної літератури з проблеми дослідження, моделювання педагогічних процесів. Емпіричні — спостереження, бесіди з вчителями і викладачами, вивчення і узагальнення досвіду загальноосвітніх закладів щодо реалізації завдань навчання вищезгаданої теми. Перший розділ включає в себе аналіз навчальної літератури, теоретичний матеріал, а також твердження, правила, алгоритми. Другий розділ розкриває методику навчання учнів теми «Паралельність прямих у просторі», також розглянуто методику навчання учнів розв’язування завдань даної теми, в тому числі і тих, які не мають алгоритмів розв’язування. У старшій школі вивчення математики диференціюється за чотирма рівнями: рівнем стандарту, академічним, профільним та рівнем поглибленого вивчення математики. Кожному з них відповідає окрема навчальна програма. Вивчення математики на академічному рівні передбачається передусім у тих випадках, коли вона тісно пов’язана з профільними предметами і забезпечує їх ефективне засвоєння. Крім того, за цією програмою здійснюється математична підготовка старшокласників, які не визначилися щодо напряму спеціалізації.

Програма академічного рівня призначена для організації навчання у класах універсального профілю та класах тих профілів, в інваріантній складовій типового навчального плану яких на вивчення математики відведено від 4 до 6 год на тиждень, і математика є базовим (обов’язковим для вивчення) предметом, близьким до профільних навчальних дисциплін — хімії, фізики, біології, екології, економіки, технологій. У програмі академічного рівня з метою забезпечення для учнів можливості зміни рівня вивчення математики в кожному класі, в основному, збережено назви і послідовність вивчення тем, передбачених програмою рівня стандарту. Зміст навчального матеріалу доповнено, а перелік навчальних досягнень учнів конкретизовано й уточнено у відповідності до Державного стандарту. У процесі навчання математики на академічному рівні основна увага приділяється не лише засвоєнню математичних знань, а й виробленню вмінь застосовувати їх до розв’язування практичних і прикладних задач, оволодінню математичними методами, моделями, що забезпечить успішне вивчення профільних предметів — хімії, фізики, біології, технологій. При цьому зв’язки математики з профільними предметами посилюються за рахунок розв’язання задач прикладного змісту, ілюстрацій застосування математичних понять, методів і моделей у шкільних курсах хімії, біології, фізики, технологій. За програмою для вивчення геометрії на академічному рівні в 10 класі відводиться 2 год на тиждень, а всього — 70 годин. Курс геометрії складається із чотирьох тем: Вивчення теми «Паралельність прямих і площин у просторі» розраховано на 22 години навчального часу. Дана тема включає в себе наступний навчальний матеріал: · Розміщення прямої та площини у просторі: пряма і площина, що перетинаються, паралельні пряма і площина. Ознака паралельності прямої та площини. · Розміщення двох площин у просторі: площини, що перетинаються, паралельні площини. (Існування площини, паралельної даній площині). Властивості паралельних площин. Вивчення взаємного розташування двох прямих у просторі: прямі, що перетинаються; паралельні прямі; мимобіжні прямі. Формування понять: паралельні прямі, мимобіжні прямі. Вивчення властивості та ознаки паралельності прямих, формування умінь застосовувати ознаку паралельності до розв’язування задач. Формування знань учнів про взаємне. Вивчення ознаки паралельності прямої і площини та формування вмінь учнів застосовувати ознаку паралельності прямої і площини до розв’язування задач. Вивчення ознаки паралельності двох площин, формування вмінь учнів застосовувати ознаку паралельності площин до розв’язування задач. Формування знань учнів про властивості паралельних площин; формування вмінь учнів застосовувати властивості паралельних площин до розв’язування вправ, побудови перерізів. Формування знань про паралельне проектування. Вивчення властивостей паралельного проектування. Дати уявлення про зображення просторових фігур на площині. — Формулювати означення паралельних і мимобіжних прямих, паралельних прямої і площини, паралельних площин; властивості та ознаки паралельності прямих і площин.

— Встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зокрема паралельність прямих, прямої і площини, двох площин, мимобіжність прямих. Під час оцінювання знань, умінь та навичок учнів з теми «Паралельність прямої та площини у просторі» необхідно враховувати наступні критерії. Початковий рівень — учень називає геометричну фігуру (пряму, площину), символ, але тільки в тому випадку, коли цей об’єкт (його зображення, опис, характеристика) запропоновано йому (їй) безпосередньо; за допомогою вчителя виконує елементарні завдання. Середній рівень — учень (учениця) повторює інформацію, операції, дії, засвоєні ним (нею) у процесі навчання, здатний(а) розв’язувати завдання за зразком. Достатній рівень — учень (учениця) самостійно застосовує знання в стандартних ситуаціях, вміє виконувати математичні операції, загальні методи і послідовність (алгоритм) яких йому(їй) знайомі, але зміст та умови виконання змінені. Високий рівень — учень (учениця) здатний(а) самостійно орієнтуватися в нових для нього(неї) ситуаціях, складати план дій і виконувати його; пропонувати нові, невідомі йому(їй) раніше розв’язання, тобто його(її) діяльність має дослідницький характер. Як відомо з курсу планіметрії, дві прямі називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. У планіметрії всі фігури розміщувались на одній площині. У стереометрії можна ж розглядати нескінченно багато площин. У зв’язку з цим означення паралельних прямих потребує уточнення. З означення паралельності прямих випливає, що через дві паралельні прямі можна провести площину. Ця площина єдина.

Отже, через дві паралельні прямі можна провести площину, і до того ж тільки одну. Як відомо, на площині через дану точку, яка не належить прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній (аксіома паралельності прямих на площині, або аксіома Евкліда). Така ж властивість виконується у просторі. З аксіоми паралельності Евкліда випливає, що в площині через дану точку можна провести не більше однієї прямої, яка паралельна даній прямій. А скільки таких прямих можна провести у просторі? Нехай дано пряму a і точку А, що не лежить на ній. Через них можна провести єдину площину (теорема 1.1). У цій площині можна провести єдину пряму b, яка паралельна прямій б (рис. 33). Таким чином, справедлива теорема: Через будь-яку точку простору, яка не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній, і тільки одну. Прямі b і с не можуть перетинатися. Інакше через точку їх перетину проходили б дві різні прямі, паралельні прямій а, що суперечило б теоремі. Припустимо, що прямі b і с — мимобіжні. Через паралельні прямі b і а, с і a проведемо площини г і в, а через пряму b і точку С прямої с — площину б. Нехай площини б і в перетинаються по прямій c Прямі а, с, c 1 лежать в одній площині в, причому с II. Тому пряма с 1, яка перетинає с, перетинає пряму a в деякій точці.

Прямі c 1 і а лежать відповідно у площинах б і г, тому їх спільна точка А належить цим площинам, а отже, і їх спільній прямій b. З припущення випливає, що паралельні прямі a і b мають спільну точку А, що суперечить умові. Паралельність прямої а і площини б позначається так: а ||. Наочне уявлення про пряму, яка паралельна площині, дають лінії перетину стіни і стелі — ці лінії паралельні площині підлоги. Відрізок називається паралельним площині, якщо він є частиною прямої, паралельної площині. Доведення.

Взаємне розміщення двох площин у просторі, означення паралельних площин. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій. Звідси випливає, що дві площини або перетинаються по прямій, або не перетинаються, тобто не мають спільних точок. Уявлення про паралельні площини дають підлога і стеля кімнати, дві протилежні стіни, поверхня стола і площина підлоги. Якщо площини і паралельні, пишуть: ||. Властивості прямої і площини, які паралельні між собою. Я кщо площина проходить через пряму, яка паралельна другій площині, і перетинає цю площину, то пряма перетину паралельна даній прямій. Нехай а || і площина проходить через а, b — пряма перетину площин і. Доведемо, що а || b. Прямі а і b лежать в одній площині і не перетинаються, бо в супротивному випадку пряма а перетинала б площину, що неможливо, оскільки згідно з умовою а ||. Отже, а || b. 2. Якщо через кожну із двох паралельних прямих проведено площину, причому ці площини перетинаються, то їх лінія перетину паралельна кожній із даних прямих.

Нехай а || b, пряма а лежить в площині, пряма b лежить в площині, площини і перетинаються по прямій с (рис. 56). Доведемо, що а || с, b ||. Оскільки а || b і пряма b лежить в площині, то а || і, отже, згідно з розв’язуванням задачі 1, а ||. Аналогічно, оскільки а || b, а лежить в площині, b || і, отже, b ||. Таким чином, а || с і b ||. Нехай і перетинаються по прямій с, а ||, а ||. Доведемо, що а ||.

Візьмемо на прямій с довільну точку А і через неї проведемо пряму b, паралельну прямій. Оскільки пряма а ||, а ||, то пряма b лежить як в площині, так і в площині. Отже, пряма b — пряма, по якій перетинаються площини і, тому пряма b збігається з прямою с, отже, с ||. Безпосередньо з доведення існування площини не випливає, що — єдина, бо прямі а і b вибрані довільно, тому може статися, що другій парі таких прямих буде відповідати друга площина 1, паралельна. Через точки А, B, С проведемо г, яка перетинає по прямій b, — по а, 1 -. Тоді а || b, с || b.

Отже, через точку А проходять дві різні прямі а і с, які паралельні прямій b, що суперечить теоремі. Припустимо, що а b. Оскільки а і b лежать в г, то вони перетинаються в деякій точці А; А, бо a ; А, бо b.

Отже, і перетинаються, що суперечить умові: ||. Нехай дано довільну площину б, точку А і пряму h, яке перетинає площину б. Проведемо через точку А пряму, яка паралельна h, вона перетинає площину б у деякій точці А Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки А на площину б у напрямі h. Пряму h називають проектуючою прямою, площину б — площиною проекцій. Щоб побудувати проекцію будь-якої фігури, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури (рис. 84). Наведемо деякі властивості паралельного проектування. 1) Усі прямі, що проектують точки відрізка АВ, лежать в одній площині в, яка перетинає площину б по прямій А 1 В Отже, проекцією відрізка є відрізок, причому довільна точка С відрізка АВ зображається точкою С 1 відрізка А 1 В 2) Нехай відрізки АВ і CD, які проектуються, паралельні. Усі прямі, що їх перетинають і паралельні h, заповнюють або частини однієї площини, або паралельних площин. Ці частини площин перетинають площину а відповідно або по відрізках однієї прямої, або по паралельних відрізках А 1 В 1 і С 1 D 3) Якщо відрізки АВ і СВ, які проектують, розміщені на одній прямій, то за теоремою про пропорційні відрізки маємо: А 1 С 1 : С 1 B 1 = АС : СВ. Якщо відрізки АВ і CD паралельні, а їх проекції А 1 B 1 і С 1 D 1 лежать на одній прямій, то АВВ 2 A 2 — паралелограм. У цьому випадку A 1 B 1 : C 1 D 1 = A 2 B 2 : CD = AB : CD. Нарешті, якщо проекції А 1 В 1 і С 1 D 1 даних відрізків АВ і CD не лежать на одній прямій, то побудуємо паралелограм CDKB. Його проекція — паралелограм СDKВ. Підручник є джерелом інформації, засобом навчання і контролю знань. Найважливішими функціями шкільного підручника вважають: інформаційну, трансформаційну, контролюючу, виховну, розвивальну. Крім провідних функцій закріплення знань та контролю рівня знань, в останні роки шкільний підручник стає важливим засобом розвитку учнів, виховання морально-етичних рис і якостей, духовності. У зв’язку з введенням у школах нових навчальних планів і програм з математики постала гостра потреба у підручниках, які б відповідали вимогам нових програм. Навчання математики у 10 класах загальноосвітніх навчальних закладів здійснюється за новими підручниками Геометрія (академічний рівень) (авт. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А.) видавництво «Зодіак-ЕКО»; Геометрія (академічний рівень) (авт. Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець.О.) видавництво «Ґенеза». Ці підручники створено відповідно до Державного стандарту та нових програм з геометрії для 10 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Однією з основних проблем шкільних підручників геометрії — оптимальне поєднання науковості й доступності викладення матеріалу. Складністю вирішення цієї проблеми пояснюється те, що українські школи мають обмаль підручників, за якими справді хотілося б навчати учнів. Та з іншого боку, це дало поштовх до педагогічної творчості чималій кількості небайдужих вчителів. У підручнику «Геометрія, 10 клас» М.І. Бурди, Н.А. Тарасенкової розділ розпочинається переліком передбачуваних пізнавальних результатів («У розділі дізнаєтесь…»), а завершується рубрикою «Перевірте, як засвоїли матеріал розділу». Тут подано контрольні запитання узагальнюючого характеру і тестові завдання. У кожному параграфі є: основний навчальний матеріал; додаткові відомості (рубрика «Дізнайтеся більше»); запитання для повторення вивченого (рубрика «Згадайте головне»); система задач, диференційована за складністю (рубрика «Розв’яжіть задачі»), яку завершує окремий блок завдань «Застосуйте на практиці».

У рубриці «Перевірте, як засвоїли матеріал розділу» подано контрольні запитання узагальнюючого характеру і тестові завдання. Відповідаючи на запитання і виконуючи тести, учні переосмислюють, узагальнюють і систематизують відомості, вивчені в розділі, приводять у систему отримані навички й уміння. Даний розділ поділено на параграфи. Зміст даного розділу підручника ґрунтується на таких методичних засадах: 1) доступність та науковість; 2) наступність; 3) диференційована реалізованість; 4) пріоритет розвивальної функції навчання; 5) прикладна спрямованість 6) посилення міжпредметних зв’язків (фізика, хімія, біологія, технології). Науковість змісту розділу забезпечена в першу чергу логічно послідовним розміщенням навчального матеріалу, коректним формулюванням означень понять, достатнім рівнем строгості.

Логічне упорядкування і послідовність навчального матеріалу розділу відповідають вимогам дидактики і математики як науки. Термінологія сучасна, предметна й однозначна. Поняття і властивості геометричних фігур сформульовані коректною математичною мовою. Чітко розмежовується зміст понять (перераховуються всі суттєві ознаки) і їх обсяг (вказується множина об’єктів, де застосовується поняття). При цьому зміст понять розкривається за допомогою означень, а їх обсяг — із залученням класифікацій (поділу понять за певною ознакою). З одного боку, це покращить засвоєння і застосування понятійного апарату даної теми, а з другого — посилить його зорове сприймання. Заслуговує на увагу і те, що поряд з означеннями понять через найближчий рід і видову відмінність, сприймання яких вимагає складнішої розумової діяльності, використовуються і конструктивні означення, які дають змогу учневі усвідомити сам процес створення (побудови) відповідного стереометричного об’єкта. Тому означення поняття нерідко спирається або на малюнок, або побудову, або на розгляд життєвої ситуації. Учням пропонується спочатку самостійно дати означення поняттю, а потім порівняти його з наведеним у підручнику. Навчальний матеріал про паралельність у просторі спирається на наочність та інтуїцію учнів, на їх життєвий досвід, що робить його доступним. Зміст теми розрахований на самостійне його опрацювання учнями. З цією метою вивчення геометричних фактів розпочинається з аналізу учнем його емпіричного досвіду (відповідних прикладів з довкілля, моделей чи малюнків). Це дає змогу з’ясувати істотні ознаки понять, властивості геометричних фігур і на основі цього самостійно сформулювати відповідні твердження.

Навчальні тексти написані так, щоб залучити учня до співпраці. Виклад розпочинається з опису практичних дій, які приведуть учня до нового поняття чи факту, або ж зі звернення до його досвіду «Ви вже знаєте, що …». Самостійно оволодіти навчальним матеріалом допоможе і підкріплення його малюнками, які виконують не лише ілюстративну, а й евристичну роль — на малюнках кольором виділяються дані і шукані величини, допоміжні побудови тощо. Загалом підручник добре ілюстрований. Кольорові фотографії несуть ретельно продумане дидактичне навантаження. Особлива увага приділяється теоремам та їх доведенням. До кожної теореми дається скорочений запис. Це дає учням можливість точніше зрозуміти суть її умови і вимоги. Доведення лаконічні й поділені на смислові блоки. Слідом за означенням поняття чи доведенням теореми учням пропонується поміркувати над проблемним запитанням. Воно сприяє глибшому осмисленню істотних ознак нового поняття або етапів доведення. Матеріал розрахований на учнів з різними навчальними досягненнями. Для тих, хто цікавиться геометрією, бажає поглибити свої знання призначена рубрика «Дізнайтеся більше». Матеріал цієї рубрики досить цікавий і корисний для учнів. Школярі отримують можливість ознайомитися не лише з історичними відомостями, долями визначних вчених, але й розширити та поглибити свої знання стосовно основного навчального матеріалу.

Задачі підручника мають чотири рівні складності — початковий, середній, достатній і високий. Усередині набору певного рівня складності задачі згруповані за порядком вивчення теоретичних відомостей. У підручнику реалізовано діяльнісний підхід до навчання геометрії — засвоєння не лише готових знань, а й способів цього засвоєння, способів міркувань, які застосовуються в геометрії, створення дидактичних ситуацій, які стимулюють самостійні відкриття учнями геометричних фактів. Майже у кожному параграфі вміщені поради щодо того, як діяти у тій чи іншій навчальній ситуації. Вони сформульовані у вигляді правил або вказівок. Вказівки спрямовані на розпізнавання геометричних залежностей, на застосування понять, теорем або способів розв’язування задач. Значна увага приділена систематизації навчального матеріалу (таблиці, схеми, задачі-таблиці, класифікації), що полегшить застосування його до розв’язування задач. Для кращого орієнтування старшокласників щодо матеріалу даної теми використані піктограми. Найважливіші означення нових понять, формулювання теорем обведені рамкою.

Треба, щоб учні зрозуміли їх, запам’ятали і навчилися застосовувати до розв’язування задач. Інші важливі відомості надруковані жирним шрифтом. Курсивом виділено терміни (наукові назви) понять. Підручник «Геометрія, 10 клас» (академічний рівень) авторів Біляніна О.Я., Біляніна Г.І., Швець.О. повністю відповідає новій програмі геометрії для 12-річної школи, усім дидактичним принципам, потребам сучасного українського суспільства. Коротко охарактеризувати його можна словами: науковий, доступний, практичний, сучасний, український, зручний. Підручник поділений на сім модулів. Тема «Паралельність прямих і площин у просторі» розглядається у двох модулях: » Взаємне розміщення прямих у просторі, прямої і площини» та «Взаємне розміщення площин у просторі». Структура кожного модуля наступна: починається з короткого змісту та характеристики цілей вивчення; теоретичний матеріал, який включає в себе задачі з розв’язками; вправи, які розраховані на чотири рівні складності; прикладні задачі та розділ «З літопису геометрії». Кожен модуль закінчується запитаннями та тестом для самоконтролю. Кожен модуль поділений на параграфи.

На початку кожного модуля подається його основний зміст та коротка мотивація вивчення. У такий спосіб учні та вчителі мають можливість заглянути на багато уроків наперед, установлюючи тим самим зв’язки між окремими темами.

Гарно оформлені заставки та цитати відомих особистостей сприяють естетичному вихованню та створюють атмосферу зацікавленості до навчання. Мова підручника є виразною та літературною. Доступність мови і викладення дає змогу учневі в разі потреби самостійно опановувати навчальний матеріал. Також цьому сприяє оформлення теоретичної частини. Теоретичний матеріал викладено просто і лаконічно, опираючись на досвід учнів. Тут даються відповідні означення, доводяться ознаки та низка теорем про паралельність прямих і площин у просторі. Кожна теорема виділена певним кольором, а доведення теореми взято в кольорову рамку. Теореми та їх доведення доповнюють відповідні побудови, за допомогою яких учням краще зрозуміти матеріал. Для ознайомлення з основними ідеями розв’язування задач в підручнику наводяться приклади, у яких, крім самого розв’язання, окремо міститься також додаткове пояснення у формі «Чому саме так?», що допоможе учневі орієнтуватися в змісті задачі та вибирати спосіб її розв’язування. Дані зразки розв’язування допоможуть школярам скласти план розв’язування аналогічного завдання. За умови такої подачі навчального матеріалу коментар, у якому пояснюється розв’язання, не заважає сприйняттю основної ідеї та плану розв’язування завдань певного типу. Це дозволяє учневі, який уже засвоїв спосіб розв’язування, за допомогою наведеного прикладу згадати, як розв’язувати аналогічні завдання, а учневі, якому потрібна консультація з розв’язування, — отримати детальну консультацію, що міститься в коментарі. (Це ж дозволяє учневі, який не був присутнім на уроці, де пояснювався відповідний матеріал, самостійно освоїти його). Після кожного параграфа є вправи на засвоєння вивченого. Кожному завданню приписано його рівень складності відповідно до класифікації, яка застосовується для позначення рівнів навчальних досягнень учнів: початковий і середній рівні навчальних досягнень, достатній рівень, високий рівень. Початковий та середній рівні подаються у вигляді тестових завдань, які можна виконувати як усно, так і письмово. Запитання та тести для самоконтролю допоможуть учням повторити матеріал, який вивчався в модулі, та підготуватися до певного виду контролю. Можна з впевненістю сказати, що структура, обсяг і співвідносність навчального матеріалу даних підручників повністю відповідають діючій програмі. Зміст підручників відповідає основним дидактичним принципам науковості, фундаментальності, сучасності теоретичних навчальних матеріалів, оптимальності співвідношення та доступність об’єму теоретично — наукового матеріалу з основ науки з індивідуальними, психологічними й віковими можливостями та особливостями учнів, інтеграції та синтезу міжпредметних та спеціальних знань, умінь, навиків. На мою думку, в підручнику геометрії авторів Бурда та Тарасенкова необхідно збільшити кількість задач практичного змісту та кількість зразків розв’язування типових задач до змісту параграфів, додати типові завдання для підготовки до контрольних робіт. А в підручнику авторів Біляніні, Біляніні, Швець збільшити кількість теоретичного матеріалу, поліпшити якість поліграфії, збільшити кількість ілюстрацій та розмір шрифту. Розділ ІІ. Після кожного параграфу наводиться набір задач. До загальної системи задач включено вправи на повторення, що мають на меті сприяти готовності до опанування наступним матеріалом, збереженню вмінь і навичок, сформованих при вивченні попередніх розділів. Задачі підручника поділяються на чотири рівні складності. Як правило, набори початкового і середнього рівнів складності розпочинаються із задач за готовими малюнками. Хоча вони не є виключенням і серед більш складних задач. Окремі, найбільш важливі задачі -теореми виділені жирним шрифтом. Учням доцільно запам’ятати їх формулювання.

Ці геометричні твердження можна застосовувати у розв’язанні інших задач.

Особливістю задач підручника є те, що задачі високого рівня складності включають елементи задач середнього і достатнього рівнів, а останні — елементи задач початкового рівня. Першу групу складають усні вправи — завдання теоретичного плану, розгляд яких є проміжним етапом між вивченням теорії і розв’язуванням письмових задач. Наявність таких задач дає змогу використовувати на уроці інтерактивні форми роботи.

Друга група завдань — графічні вправи, які учні можуть виконувати як власноруч у зошиті, так і за допомогою комп’ютера. Ці вправи дають наочне уявлення про базові геометричні конфігурації, що вивчаються, сприяють розвитку початкових креслярських умінь і навичок роботи з графічними комп’ютерними програмами. Наступну групу складають письмові задачі, згруповані за трьома рівнями складності. На кожному рівні завдання диференційовано за змістом навчальної діяльності — задачі на обчислення, доведення, побудову тощо. До кожного параграфа наведено багато задач, серед яких задачі на: застосування властивостей та ознак паралельності прямих та площин, побудову площини, паралельної даній, побудову перерізів многогранників, з використанням властивостей паралельних площин. Але це суперечить умові, що)

Коментарі

Популярні дописи з цього блогу

правила безпеки під час проведення дослідів з природознавства у початкових класах

географія 7 клас практикум кобернік гдз